[論文レビュー] Uniqueness in geometric quantization

László Lempert, Róbert Szőke|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Geometry and complex manifolds被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、接続を持つヒルベルト bundle のファイバーとしてのヒルベルト空間族 $H_s$ を分析することにより、幾何学的量子化の一意性を調査する。単連結な基底上での平坦で解析的場が経路に依存しない平行移動を与えることを確立し、同調的で解析的リーマン多様体に対しては、ケーラー構造からの直接像構成が平坦で解析的なヒルベルト場を与えることを証明する—これにより、これらの状況では一意な量子化が成立する。

ABSTRACT

Geometric quantization often produces not one Hilbert space to represent the quantum states of a classical system but a whole family $H_s$ of Hilbert spaces, and the question arises if the spaces $H_s$ are canonically isomorphic. [ADW] and [Hi] suggest to view $H_s$ as fibers of a Hilbert bundle $H$, introduce a connection on $H$, and use parallel transport to identify different fibers. Here we explore to what extent this can be done. First we introduce the notion of smooth and analytic fields of Hilbert spaces, and prove that if an analytic field over a simply connected base is flat, then it corresponds to a Hermitian Hilbert bundle with a flat connection and path independent parallel transport. Second we address a general direct image problem in complex geometry: pushing forward a Hermitian holomorphic vector bundle $E-->Y$ along a non-proper map $Y-->S$. We give criteria for the direct image to be a smooth field of Hilbert spaces. Third we consider quantizing an analytic Riemannian manifold $M$ by endowing $TM$ with the family of adapted K\ahler structures from arxiv:1004.4069 [LSz]. This leads to a direct image problem. When $M$ is homogeneous, we prove the direct image is an analytic field of Hilbert spaces. For certain such $M$---but not all---the direct image is even flat; which means that in those cases quantization is unique.

研究の動機と目的

• 幾何学的量子化がしばしばヒルベルト空間族 $H_s$ を生じるにもかかわらず、どのような条件下でそれが一意なヒルベルト空間を生じるかを特定すること。
• 幾何学的量子化族における異なるヒルベルト空間 $H_s$ が、ヒルベルト bundle 内の平行移動によって自然に同型であるかどうかを調査すること。
• 非正則な写像に沿ったヘルミート正則ベクトル bundle の直接像が、滑らかまたは解析的ヒルベルト空間族を生じる条件を確立すること。
• 接続されたケーラー構造を用いた解析的リーマン多様体の量子化を分析し、その結果得られる直接像が平坦である条件を特定し、一意性を示すこと。

提案手法

• 基底多様体 $S$ 上の滑らかで解析的なヒルベルト空間族の概念を導入する。
• 単連結な基底 $S$ 上の平坦で解析的場が、平坦な接続を備えたヘルミートヒルベルト bundle と経路に依存しない平行移動に対応することを証明する。
• 複素幾何における一般の直接像問題に取り組む：非正則な写像 $Y \to S$ 沿いに、ヘルミート正則ベクトル bundle $E \to Y$ を押し出すこと。
• 特に、接続された接バンドル $TM$ 上のケーラー構造の文脈において、直接像が滑らかなヒルベルト空間族であるための十分条件を提示する。
• arXiv:1004.4069 [LSz] から得られる、$TM$ 上の適応ケーラー構造の族を構成し、解析的リーマン多様体の量子化を可能にする。
• 得られた直接像 bundle を分析し、同調的多様体の場合に平坦であることを証明し、$S$ 全体にわたるヒルベルト空間の自然な同型を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的量子化におけるヒルベルト空間族 $H_s$ が、異なる $s$ 間でいつ自然に同型となるか。
• RQ2 単連結な基底上に平坦で解析的なヒルベルト空間場が存在する場合、平行移動によって自然に同定可能か。
• RQ3 非正則な写像に沿ったヘルミート正則ベクトル bundle の直接像が、いつ滑らかまたは解析的ヒルベルト空間族を生じるか。
• RQ4 どのような解析的リーマン多様体に対して、$TM$ 上の適応ケーラー構造を用いた量子化が一意的か。
• RQ5 ケーラー量子化構成からの直接像 bundle がいつ平坦となり、量子ヒルベルト空間の一意性を示唆するか。

主な発見

• 単連結な基底上に平坦で解析的なヒルベルト空間場が存在する場合、それは平坦な接続を備えたヘルミートヒルベルト bundle と経路に依存しない平行移動に対応する。
• 適切な幾何的条件下では、非正則な写像に沿ったヘルミート正則ベクトル bundle の直接像が、滑らかなヒルベルト空間族となることがある。
• 同調的で解析的なリーマン多様体に対しては、$TM$ 上の適応ケーラー構造からの直接像構成が、解析的ヒルベルト空間族を生成する。
• 特定の同調的ケースでは、直接像 bundle が平坦であることが示され、これにより基底全体にわたる量子ヒルベルト空間が自然に同型であることを示す。
• 直接像が平坦である場合、平行移動によりヒルベルト空間 $H_s$ 間の自然な同一視が得られるため、そのような状況では量子化が一意的である。
• この構成により、幾何学的量子化が、直接像 bundle の平坦性を満たす幾何的構造を持つ場合に、一意な量子表現を生じることを確認する。