[論文レビュー] Uniqueness in inverse acoustic and electromagnetic scattering by penetrable obstacles

Jiaqing Yang, Bo Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2013

Numerical methods in inverse problems被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、固定周波数における時間調和音響波および電磁波の遠方パターンから、透過可能で非一様な障害物の固有の同定を確立する。小さな領域における適切に定式化された内部伝送問題を構築し、積分方程式による事前 $L^p$ 評価を活用することで、伝送係数 $ olambda=1$ または $ olambda_H=1$ の長年の未解決ケースを解消し、音響および電磁波散乱を一つの枠組みで統一する。

ABSTRACT

This paper considers the inverse problem of scattering of time-harmonic acoustic and electromagnetic plane waves by bounded, inhomogeneous, penetrable obstacles in a homogeneous background medium. A new method is proposed to prove the unique determination of the penetrable, inhomogeneous obstacle from the far-field pattern for all incident plane waves at a fixed frequency. Our method is based on constructing a well-posed interior transmission problem in a {\em small} domain associated with the Helmholtz or modified Helmholtz equation and the Maxwell or modified Maxwell equations, where a key role is played by the fact that the domain is small, which ensures, for the previously unresolved case with the transmission coefficient $\la=1$ or $\la_H=1$, that the lowest transmission eigenvalue is large so that a given wave number $k$ is not an eigenvalue of the interior transmission problem. Another ingredient in our proofs is a priori estimates of solutions to the transmission scattering problems with boundary data in $L^p$ ($1<p<2$), which are established in this paper by using the integral equation method. A main feature of the new method is that it can deal with the acoustic and electromagnetic cases in a unified way and can be easily applied to deal with inverse scattering by unbounded rough interfaces.

研究の動機と目的

• 伝送係数 $ olambda=1$ または $ olambda_H=1$ の透過可能で非一様な障害物の逆散乱問題を解明すること。これは、固有値の退化のため、以前は未解決であった。
• 共通の数学的枠組みを用いて、音響および電磁波散乱の逆散乱理論における取り扱いを統一すること。
• 固定周波数におけるすべての平面波入射に対して、遠方パターンからの障害物の一意的同定を確立すること。
• 逆散乱手法の適用範囲を非有界で粗い界面へと拡張すること。

提案手法

• 特に $ olambda=1$ または $ olambda_H=1$ の場合に生じる固有値問題を回避するため、小さな領域における適切に定式化された内部伝送問題を構築する。
• 領域の小さなサイズを活用して、最小の伝送固有値を大きくし、波数 $k$ が固有値とならないように保証する。
• 境界データが $L^p$（$1<p<2$）にある解について、積分方程式法を用いて事前 $L^p$ 評価を導出する。
• 音響波にはヘルムホルツ方程式または修正ヘルムホルツ方程式を、電磁波にはマクスウェル方程式または修正マクスウェル方程式を適用する。
• 逆問題を遠方パターンの観点から定式化し、伝送問題を介してデータと障害物の性質を結びつける。
• 支配方程式における構造的類似性を活用して、音響および電磁波ケースの解析を統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 伝送係数が $ olambda=1$ または $ olambda_H=1$ の場合に、透過可能障害物の逆散乱問題が一意に解けるか。
• RQ2 共通の解析的枠組みを用いて、音響および電磁波逆散乱問題の取り扱いを統一可能か。
• RQ3 解の $L^p$ 評価（$1<p<2$）をどのように確立し、一意性の証明を支援できるか。
• RQ4 この手法を非有界で粗い界面による逆散乱に拡張可能か。
• RQ5 小さな領域のサイズが、内部伝送問題における固有値の障害を回避する役割を果たすか。

主な発見

• 本稿は、固定周波数におけるすべての平面波入射に対して、遠方パターンからの透過可能で非一様な障害物の一意的同定を確立する。
• 伝送係数 $ olambda=1$ または $ olambda_H=1$ のケースが、波数 $k$ における伝送固有値の存在によって以前は妨げられていたが、本手法によりこれを効果的に解消する。
• 積分方程式法を用いて、$1<p<2$ の範囲で伝送問題の解に対する事前 $L^p$ 評価を厳密に確立した。これは重要な技術的進展である。
• 小さな領域の構築により、$k$ が内部伝送問題の固有値とならないことが保証され、適切に定式化された問題が得られる。
• 音響および電磁波散乱問題の解析が統一され、両ケースを共通の枠組みで取り扱える。
• この手法は、非有界で粗い界面による逆散乱へと拡張可能であり、適用範囲が広がる。