[論文レビュー] Uniqueness of a smooth convex body with a uniform cone volume measure in the neighborhood of a ball

Andrea Colesanti, Galyna V. Livshyts|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Point processes and geometric inequalities被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド球の十分に小さな $C^2$ 領域内にある滑らかな凸体の中で、一様な円錐体積測度を持つのはユークリッド球そのものであることを証明している。微分幾何学的および測度論的技法を用いて、滑らかさと球に近いという仮定の下で一意性を確立し、ルトワクの円錐体積測度の一意性に関する予想の局所的バージョンを解決した。

ABSTRACT

The cone volume measure of a convex body $K$ is the measure $c_K$ on the sphere given by $$c_K(\Omega)=\frac{1}{n}\int_{\sfe} h_K(u) ds_K(u),$$ where $s_K$ is the surface area measure of $K$ and $h_K$ is the support function. Lutwak asked \cite{lutwak} if the cone volume measure determines a convex body uniquely; the answer is known to be affirmative in some partial cases. However, in general, it is not even known if a convex body with uniform cone volume measure has to be a Euclidean ball. We show that the only smooth convex body with uniform cone volume measure is indeed the Euclidean ball of the appropriate radius, under the initial assumption that the body is in a $C^2$ neighborhood of the ball. The size of the neighborhood depends only on the dimension.

研究の動機と目的

• 一様な円錐体積測度を持つ凸体が、球に限られるかどうかを、球の近傍で調べること。
• ルトワクの未解決問題、すなわち、円錐体積測度によって特徴づけられる凸体の一意性を扱うこと。
• 滑らかさおよび $C^2$ 近傍性の仮定のもとで、唯一のこのような凸体がユークリッド球であることを確立すること。
• 凸幾何における円錐体積測度問題の局所的一意性結果を提供すること。

提案手法

• 支持関数 $h_K$ と単位球面上の面積測度 $s_K$ を用いて、円錐体積測度 $c_K$ を定義する。
• $C^2$-位相を用いて、滑らかさと曲率の点でユークリッド球に十分近い凸体のクラスに制限する。
• 変分法および偏微分方程式の技法を用いて、球の小さな摂動における円錐体積測度の挙動を分析する。
• 支持関数と面積測度を含む積分公式を用い、$c_K$ の一様性に必要な条件を導出する。
• 摂動における円錐体積測度の対称性と剛性を分析し、一様性が球対称性を強制することを示す。
• 次元に依存する推定を用いて、一意性が成り立つ $C^2$ 領域の大きさを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な円錐体積測度を持つ滑らかな凸体は、必ずユークリッド球でなければならないか？
• RQ2 $C^2$ 位相における球の近傍で、球の一意性を確立できるか？
• RQ3 円錐体積測度が体を一意に決定するような、球の $C^2$ 領域の大きさは何か？
• RQ4 ユークリッド球の小さな $C^2$ 接続摂動において、円錐体積測度はどのように振る舞うか？
• RQ5 円錐体積測度が一様である場合、どのような幾何学的および測度論的条件が、凸体が球でなければならないように強制するか？

主な発見

• 滑らかな凸体が一様な円錐体積測度を持つための必要十分条件は、ユークリッド球そのものであり、これは球の十分に小さな $C^2$ 領域内に限る。
• その領域の大きさは、環境空間の次元にのみ依存する。
• この結果は、ルトワクの円錐体積測度の一意性に関する予想の局所的バージョンを確認した。
• 証明は、球の小さな $C^2$ 接続摂動における円錐体積測度の剛性に依存している。
• 円錐体積測度の一様性は、支持関数と面積測度が、このクラスにおいて球のみが満たす対称的な積分恒等式を満たさなければならないことを強制する。
• 滑らかさおよび $C^2$ 近傍性の仮定のもとでこの結果は成り立つが、追加の制約なしには、グローバルに拡張できない。