[論文レビュー] Uniqueness of an inverse source non-local problem for fractional order mixed type equation

M. S. Salakhitdinov, Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、長方形領域におけるCaputo微分を含む分数階混合型方程式に対する逆源問題の解の一意性を確立する。空間において双直交級数に表現し、時間に関して分数階微分方程式に還元することで、境界条件および伝達条件から導かれる行列式が非ゼロである場合に、非局所的条件のもとで一意性を証明する。

ABSTRACT

In the present work, we investigate a uniqueness of solution of the inverse source problem with non-local conditions for mixed parabolic-hyperbolic type equation with Caputo fractional derivative. Solution of the problem we represent as bi-orthogonal series with respect to space variable and will get fractional order differential equations with respect to time-variable. Using boundary and gluing conditions, we deduce system of algebraic equations regarding unknown constants and imposing condition to the determinant of this system, we prove a uniqueness of considered problem. Moreover, we find some non-trivial solutions of the problem in case, when imposed conditions are not fulfilled.

研究の動機と目的

• 分数階混合型方程式と非局所的条件を含む逆源問題の解の一意性を確立すること。
• 方程式が t=0 で型を変える領域における解の振る舞いを、放物型および双曲型ダイナミクスの両方を組み合わせて分析すること。
• 自明な解しか存在しない条件を導出し、逆問題の一意性を保証すること。
• 一意性条件が成立しない場合の非自明な解の特徴を明らかにし、その明示的表現を与えること。
• 非局所的伝達条件およびCaputo微分を組み込んだ既存の分数階PDEにおける逆問題の結果を拡張すること。

提案手法

• Sturm-Liouville問題のノイマンおよび周期的境界条件を満たす固有関数を用いて、空間的双直交級数展開として解を表現する。
• 各モードごとに、系列係数にCaputo分数階微分を適用し、元のPDEを時間に関する分数階常微分方程式系に変換する。
• Mittag-Leffler関数および一般化された分数階積分作用素を用いて、時間依存係数の明示的解を導出する。
• 境界条件および伝達条件（t=0におけるCaputo微分の連続性を含む）を適用し、未知定数の代数方程式系を構成する。
• 代数方程式系の係数行列の行列式を分析し、行列式が非ゼロである場合に一意性を確立する。
• 行列式がゼロの場合に非自明な解を構成し、任意定数および特殊関数の恒等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階混合型方程式に対する逆源問題の解が一意となる条件は何か？
• RQ2 t=0における非局所的伝達条件が、逆問題の可解性および一意性にどのように影響するか？
• RQ3 一意性条件が成立しない場合、非自明な解はどのような形をとるか？
• RQ4 α ∈ (0,1] および β ∈ (1,2] のCaputo分数階微分が解の構造にどのように影響するか？
• RQ5 空間的および時間的ダイナミクスを分離する双直交級数フレームワークで解を表現できるか？

主な発見

• 境界および伝達条件から導かれる方程式系の行列式が非ゼロである限り、逆源問題の解は一意に定まる。
• 行列式がゼロの場合、非自明な解が存在し、特に $ u(x,t) = u_0(t), f(x) = f_0 $ の形の空間的に定数の解が存在する。このとき $ u_0(t) $ はMittag-Leffler関数を用いて明示的に表現可能である。
• k = m ≠ 0 のモードに対して、$ \Delta_m = 0 $ の場合に非自明な解が存在し、Mittag-Leffler関数および一般化された超幾何型作用素を用いて明示的に構成可能である。
• 解成分 $ V_{1k}(t), V_{2k}(t), W_{1k}(t), W_{2k}(t) $ はMittag-Leffler関数およびその分数階積分類似関数で表現され、解析的取り扱いが可能である。
• 一意性条件は、係数 $ f_{1k}, f_{2k}, f_0 $ に関する代数方程式系の行列式が非ゼロであることと同値である。
• 本稿では、スペクトルパラメータおよびドメインパラメータ $ p, q $ に応じて、自明解および非自明解を完全に特徴づける結果が得られている。