[論文レビュー] Uniqueness of Kusuoka Representations

Alois Pichler, Alexander Shapiro|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2012

Risk and Portfolio Optimization参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、Lp 空間における法則不変な一貫性リスク尺度の最小 Kusuoka 表現の一意性を、双対空間における露出点の集合を特定し、最小表現が1次のストキャスティック・ドミナスランスに関して極値である確率測度からなることを示すことによって確立する。主な貢献は、任意の Kusuoka 表現が一意な最小形に簡約可能であることを証明し、スペクトルリスク尺度を超える長年の未解決問題である一意性の問題を解決することにある。

ABSTRACT

This paper addresses law invariant coherent risk measures and their Kusuoka representations. By elaborating the existence of a minimal representation we show that every Kusuoka representation can be reduced to its minimal representation. Uniqueness -- in a sense specified in the paper -- of the risk measure's Kusuoka representation is derived from this initial result. Further, stochastic order relations are employed to identify the minimal Kusuoka representation. It is shown that measures in the minimal representation are extremal with respect to the order relations. The tools are finally employed to provide the minimal representation for important practical examples. Although the Kusuoka representation is usually given only for nonatomic probability spaces, this presentation closes the gap to spaces with atoms.

研究の動機と目的

• 一般の法則不変な一貫性リスク尺度に対して、最小かつ一意な Kusuoka 表現が存在するかどうかという未解決問題を解消すること。
• Lp 関数空間の双対空間における露出点を用いて、最小 Kusuoka 表現を特徴付けること。
• 特に1次のストキャスティック・ドミナスランスを含むストキャスティック順序関係が、最小表現における極値測度を同定する役割を明確にすること。
• 原子を含む確率空間への Kusuoka 表現の拡張、すなわち非原子的仮定が成り立たない場合の考察。
• Fenchel-Moreau 双対性とスペクトル関数解析を用いて、最小 Kusuoka 集合を構成的に導出する方法の提供。

提案手法

• リスク尺度を双対集合の確率測度上の上限として表現するために Fenchel-Moreau 定理を用いる。
• 最小 Kusuoka 表現を、双対集合の露出点からなる集合として特定し、これが1次のストキャスティック・ドミナスランスに関して極値であることを示す。
• ストキャスティック順序関係を適用して最小表現を特徴付け、最小集合に属する測度が、集合内での他の測度にドミネートされないことを示す。
• 双対集合の露出点から一対一の変換を構築することで最小表現を構成し、一意性を保証する。
• スペクトルリスク尺度理論を用いて、絶対半分散などの具体的な例に対して最小表現を導出する。
• 1/p + 1/q = 1 を満たす Lp(Ω,F,P) 空間（p∈[1,∞)）における双対空間の構造を分析し、Lp と Lq 空間の双対性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lp 空間における任意の法則不変な一貫性リスク尺度に対して、最小かつ一意な Kusuoka 表現が存在するか？
• RQ2 ストキャスティック・ドミナスランスと双対空間における露出点を用いて、最小 Kusuoka 表現をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 最小 Kusuoka 表現とリスク尺度のスペクトル表現の関係は何か？
• RQ4 原子を含む確率空間では、非原子的空間と比較して Kusuoka 表現はどのように異なるか？
• RQ5 絶対半分散のような実用的リスク尺度に対して、最小表現を明示的に構成できるか？

主な発見

• 最小 Kusuoka 表現は一意的であり、双対集合の露出点からなる集合として構成可能であり、これが1次のストキャスティック・ドミナスランスに関して極値である。
• すべての Kusuoka 表現はその最小形に簡約可能であり、この最小形は一意的であるため、従来の文献における一意性の問題が解決される。
• λ∈[0,1] における絶対半分散リスク尺度に対して、最小 Kusuoka 表現は ρ(Z) = supκ∈(0,1) {(1−λκ)AV@R₀(Z) + λκ AV@R₁₋κ(Z)} で与えられる。
• 最小表現は、1次ストキャスティック順序で支配されない測度のみを含み、これが極値性を確認する。
• 原子を含む空間においても、最小 Kusuoka 表現は存在し、構造は非原子的ケースとは異なるが、導出可能である。
• 最小表現は [0,1] 上の確率測度空間における弱位相に関して不変であり、その閉包も有効な Kusuoka 集合のまま保たれる。