[論文レビュー] Uniqueness of percolation on products with Z

Itaï Benjamini, Gady Kozma|arXiv (Cornell University)|May 13, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、体積成長が超指数的でない連結グラフ $G$ を構成し、$G \times \mathbb{Z}$ における臨界確率での確率的遷移が無限個の無限クラスタを持つことを示し、臨界閾値における一意性の欠如を実証する。構成法は、スパースなレベルに埋め込まれた $\mathbb{Z}^d$ 格子を持つ修正された木構造を用い、結果は $\mathbb{Z}$ 上の質量輸送原理と三叉点に基づく背理法によって証明され、可約性の破れを引き起こす。

ABSTRACT

We show that there exists a connected graph G with subexponential volume growth such that critical percolation on the product of G with the line has infinitely many infinite clusters. We also give some conditions under which this cannot occur.

研究の動機と目的

• グラフ $G$ の可約性が $G\times\mathbb{Z}$ の確率的遷移において無限クラスタが有限個であることを示すかというシュニトマンの問いに答えること。
• 体積成長が超指数的であっても、$G\times\mathbb{Z}$ における臨界確率で無限クラスタが無限個存在しうることを示す反例を構成すること。
• 特に強可約性と体積成長の文脈において、$G\times\mathbb{Z}$ が無限クラスタを無限個持つのを回避する条件を調査すること。
• 幾何的群論における長年の未解決問題である、一様指数的成長を示すが強可約性を満たすグラフの存在を調査すること。

提案手法

• 体積成長が $l_{n+1} = l_n + \lceil d^2 \log(n+1) \rceil$ に従う、次数 $4d$ の木を構成し、スパースな間隔を形成する。
• 各レベル遷移 $l_n \to l_{n+1}$ において、各辺を $\mathbb{Z}^d$ のコピーに置き換え、端点を格子内の $(0,\dots,0)$ および $(n,\dots,n)$ に接続する。
• $d \to \infty$ のとき $p_c(\mathbb{Z}^{d+1}) \sim 1/(2d)$ であるという事実を用い、$G\times\mathbb{Z}$ における臨界確率が $p_c(\mathbb{Z}^{d+1})$ に一致し、そこから無限クラスタが出現することを保証する。
• $G\times\mathbb{Z}$ における「レベル間経路」を定義し、確率的挙動を独立に分析できる領域を分離する。
• $\mathbb{Z}$ 上の質量輸送原理を適用し、三叉点の存在がそれらが形成する 3-正則木構造を示す。
• 木構造における点の数が、$\mathbb{Z}$ の可約性が成立する範囲を越えて大きくなることから、背理法による矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ $G$ の可約性は、$G\times\mathbb{Z}$ における臨界確率で無限クラスタが有限個であることを示唆するか？
• RQ2 体積成長が超指数的であるグラフ $G$ は、$G\times\mathbb{Z}$ における臨界確率で無限個の無限クラスタを持つことができるか？
• RQ3 一様指数的成長を示すが、非可約部分グラフを含まない強可約性を満たすグラフは存在するか？
• RQ4 $G$ が強可約性を満たす場合に、$G\times\mathbb{Z}$ が $p_c(G\times\mathbb{Z})$ で無限個の無限クラスタを示すことができるか？
• RQ5 $G\times\mathbb{Z}$ における確率的遷移の非単調な一意性の欠如は、一意クラスタ状態と無限クラスタ状態の間の複数の遷移を許容するか？

主な発見

• 体積成長が超指数的である連結グラフ $G$ が存在し、$G\times\mathbb{Z}$ における臨界確率で無限個の無限クラスタを持つことが示された。
• 構成されたグラフ $G$ は、非可約部分グラフを含まないため強可約性を満たすが、依然として $p_c$ で一意性が成立しない。
• $G$ の体積成長は $\exp(C\sqrt{r}\log r)$ で抑えられ、超指数的成長であることが確認された。
• 証明は、$\{v\}\times\mathbb{Z}$ に存在する三叉点の存在に依拠しており、それらが 3-正則木を形成することを示し、$\mathbb{Z}$ の可約性に矛盾する。
• 構成法により、$d$ が十分に大きいとき $p_c(G\times\mathbb{Z}) = p_c(\mathbb{Z}^{d+1})$ であり、この $p$ において無限クラスタが出現することが示された。
• 無限クラスタを避けるための十分条件として、$G$ の任意の有限集合が、一様に有界な数の辺を除去することで無限遠と分離可能であることが挙げられる。