[論文レビュー] Uniqueness of solutions of Ricci flow on complete noncompact manifolds

Shu-Yu Hsu|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、有界曲率をもつ完備非コンパクト多様体上のリッチフロー解の一意性について、DeTurckの技法を用いて修正・簡略化された証明を提供する。先行研究[CZ]における誤った補題を特定・無効化し、有界曲率のもとでリッチ・ハーモニックフローの存在と一意性を確立し、非有界な曲率のもとでインジェクティビティ半径が無限遠で消える反例を構成する。

ABSTRACT

We prove the uniqueness of solutions of the Ricci flow on complete noncompact manifolds with bounded curvatures using the De Turck approach. As a consequence we obtain a correct proof of the existence of solution of the Ricci harmonic flow on complete noncompact manifolds with bounded curvatures.

研究の動機と目的

• 有界曲率をもつ完備非コンパクト多様体上のリッチフローについて、[CZ]における誤った一意性証明を是正すること。
• リッチフローの完全非コンパクト多様体における一意性を、DeTurckアプローチを用いて厳密かつ簡略化された証明を確立すること。
• 有界曲率のもとで、完全非コンパクト多様体上におけるリッチ・ハーモニックフロー解の存在を示すこと。
• 有界曲率をもつ完全多様体だが、無限遠でインジェクティビティ半径が0に近づく反例を構成すること。
• Riemann積分を用いた滑らかな関数の有界導関数の構成を主張する[CZ]の補題2.2の妥当性に反論する強い根拠を提供すること。

提案手法

• 弱い放物型リッチフローを厳密な放物型リッチ-DeTurckフローに変換するDeTurckの技法を適用し、解析を簡素化する。
• リッチ・ハーモニックフロー$ F $を微分同相写像として用い、計量を固定された標的多様体に引き戻し、リッチ-DeTurckフローを定義する。
• 滑らかな核$ \psi $を用いたRiemann積分を距離関数の近似に用いるが、インジェクティビティ半径が0に近づく場合には、一様に有界な導関数が得られないことを示す。
• ヘッセ比較定理を用いて距離関数$ \rho $のラプラシアンを制御し、$ \widetilde{\nabla}_\alpha \widetilde{\nabla}_\beta \rho \leq \frac{1 + \sqrt{k_0}\rho}{\rho} h_{\alpha\beta} $ を境界づける。
• エネルギー推定を局所化し、最大原理を適用するための切断関数$ \widetilde{\phi}(y) = \phi(\rho(y)/R_1) $ を用いる。
• 重み付き最大原理を$ q(y,t) = u(y,t)e^{-2C_2\sqrt{t}} - (2C_4/R_1)t $ に適用し、$ q \leq 0 $ を示し、$ R_1 \to \infty $ の極限で$ \hat{g} \equiv \hat{\overline{g}} $ を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ[CZ]の補題2.2は、インジェクティビティ半径が0に近づく非コンパクト多様体上で滑らかな関数の有界導関数を構成するのに不適切なのか？
• RQ2 DeTurck法は、有界曲率をもつ完全非コンパクト多様体上のリッチフローの一意性を厳密に適用可能か？
• RQ3 有界曲率をもつ完全非コンパクト多様体で、インジェクティビティ半径が無限遠で0に近づく場合、一様な境界に依存する従来の一意性議論は無効になるか？
• RQ4 非コンパクト多様体上で有界曲率の仮定のもと、リッチ・ハーモニックフローの存在と一意性を証明できるか？
• RQ5 インジェクティビティ半径が一様に下から有界でない場合、Riemann積分作用素の正しい挙動は何か？

主な発見

• [CZ]の核心的補題2.2は、インジェクティビティ半径が0に近づく場合には、距離関数のRiemann積分が一様に有界な高階共変微分をもたらさないため、無効である。
• 本論文は、有界曲率をもつが無限遠でインジェクティビティ半径が0に近づく完全非コンパクトRiemann多様体を構成し、このような多様体が存在し、病理的ではないことを示した。
• DeTurck法を用いて、有界曲率をもつ完全非コンパクト多様体上におけるリッチフローの一意性について、修正・簡略化された証明を確立した。
• 有界曲率のもとで、完全非コンパクト多様体上におけるリッチ・ハーモニックフローの存在と一意性を厳密に証明した。
• 切断関数$ \widetilde{\phi} $と重み付き関数$ q $を用いた最大原理の議論により、$ \hat{g} \equiv \hat{\overline{g}} $ が$ N \times [0,T_0] $ 上で成り立ち、DeTurckゲージにおける一意性が証明された。
• 最終的な一意性定理は、$ M \times (0,T) $ 上の2つのリッチフロー解が同じ初期計量を持ち、曲率が一様に有界（$ \|Rm\| \leq k_0 $）ならば、それらは同一である：$ g(t) \equiv \overline{g}(t) $。