[論文レビュー] Uniqueness of solutions of stochastic differential equations

A. M. Davie|ArXiv.org|Sep 26, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、d次元ブラウン運動のほとんどすべてのサンプル経路に対して、有界なボレル係数 $ f $ を持つ確率微分方程式 $ dx(t) = dW(t) + f(t,x(t))dt $ が一意な連続解を持つことを確立する。著者らは、ギルサノフ変換とブラウン運動関数の増分に関する新規なモーメント推定を用いて、$ f $ がリプシッツ連続でない場合でもパスごとの一意性を証明し、クリロフが提起した不規則係数をもつSDEのパスごとの一意性に関する問題を解決する。

ABSTRACT

We consider a d-dimensional stochastic differential equation with additive noise and a drift coefficient which is assumed only to be a bounded Borel function. We show that, for almost all choices of the driving Brownian path, the equation has a unique solution.

研究の動機と目的

• N. V. クリロフが提起した、$ f $ が有界かつボレル可測である場合でも、SDE $ dx = dW + f(t,x)dt $ がほとんどすべてのブラウン運動経路 $ W $ に対して一意解を持つかどうかという問題を解決すること。
• 従来の強い解理論で一般的に要求されるリプシッツ連続性を仮定せず、不規則な係数をもつSDEのパスごとの一意性を確立すること。
• 微係数の正則性仮定がなくとも、モーメント推定と測度変換技術に基づく新しい解析的枠組みを構築し、パスごとの一意性を扱うこと。
• 停止時刻条件を課さずに、任意の可変ステップサイズをもつオイラー近似が、一意解に収束することを示すこと。

提案手法

• 元のSDEを、$ du/dt = f(t,W(t)+u(t)) - f(t,W(t)) $ の形をもつ確率的常微分方程式に変換するため、ギルサノフの定理を適用し、パスごとの一意性をこの常微分方程式の自明な解の存在に帰着させる。
• 差の時間積分の $ p $ 次モーメントに関する重要なモーメント推定（命題2.1）を導出し、$ f $ の増分の $ L^p $ ノルムが $ |x|^{p} $ に比例して減少することを示し、リプシッツ条件の代わりに機能することを示す。
• 二分木分割と反復推定技術を用いて、候補解の変動を制御し、モーメント推定から導かれる最小成長限界に反する非自明な解が存在できないことを証明する。
• 対数的増分に基づく再帰的数列 $ \beta_j $ を用いて、二分木点における解のずれの大きさを制御し、極限でそれが消えることを示す。
• アスコリ＝アルツェラの定理を用いて、離散的オイラー近似から連続な極限を抽出し、パスごとの一意性を用いて、それが真の解に収束することを結論づける。
• 変換された測度 $ \mu $ がウィener測度 $ P_W $ に関して絶対連続であることから、性質が $ \mu $-ほとんど everywhere で成り立てば、$ P_W $-ほとんど everywhere で成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SDE $ dx(t) = dW(t) + f(t,x(t))dt $ は、$ f $ が有界かつボレル可測である場合でも、ほとんどすべてのブラウン運動経路 $ W $ に対して一意解を持つだろうか？
• RQ2 リプシッツ連続性を仮定しない不規則なドリフトをもつSDEに対して、パスごとの一意性を確立できるだろうか？
• RQ3 停止時刻条件を課さずに、任意の可変ステップサイズをもつオイラースキームの収束を保証できるだろうか？
• RQ4 ブラウン運動関数のモーメント推定を用いて、リプシッツ条件の代わりに機能するものを作成できるだろうか？

主な発見

• ほとんどすべてのブラウン運動経路 $ W $ に対して、SDE $ x(t) = W(t) + \int_0^t f(s,x(s))ds $ は、$ f $ が有界かつボレル可測である場合でも一意な連続解 $ x(t) $ をもつ。
• 鍵となる技術的結果は、有界ボレル関数 $ g $ に対して $ \mathbb{E}\left| \int_0^1 \{g(t,W(t)+x) - g(t,W(t))\} dt \right|^p \leq C^p (p/2)! |x|^p $ を示すモーメント推定であり、これはリプシッツ連続性の代わりに機能する。
• 証明により、$ P_W $-ほとんどすべての $ W $ に対して、常微分方程式 $ u(t) = \int_0^t \{f(s,W(s)+u(s)) - f(s,W(s))\} ds $ の非自明な解は存在しないことが示され、これがパスごとの一意性を意味する。
• 著者らは、任意の可変ステップサイズをもつオイラースキームが、停止時刻条件を課さずに、ほとんどすべてのブラウン運動経路に対して一意解にパスワイズに収束することを示している。
• 再帰的数列 $ \beta_j $ が $ \beta_{j+1} = \beta_j(1 + K2^{-m}\log(1/\beta_j)) $ で定義され、十分大きな $ m $ に対して $ \beta_j \leq 2^{-2^{2m/3}} $ を満たすことが示され、これによりすべての二分木点で解が消えることが保証され、結果として $[0,1]$ 上で恒等的にゼロとなる。
• この結果により、複数の解が存在するブラウン運動経路の集合は、ウィener測度でゼロとなることが示され、これはドリフト $ f $ が連続的またはリプシッツ連続でない場合でも成り立つ。