[論文レビュー] Uniqueness of stable-like processes

Zhen-Qing Chen, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、状態依存のLévy測度と拡散係数を有する安定型Lévy過程によって駆動されるSDEのマルティングール問題の適切な定義およびパスワイズ一意性を確立する。Lévy測度のホルダー連続性および拡散係数の一様連続性の下で、係数が一階ソボレフ空間 $ W^{1,p} $ に属する場合、$ p > d(1 + \alpha \vee 1) $ のとき強い一意性を証明する。これは古典的結果を非局所的・特異的ジャンプ拡散過程へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this work we consider the following $α$-stable-like operator (a class of pseudo-differential operator) $$ {\mathscr L} f(x):=\int_{\mathbb R^d}[f(x+σ_x y)-f(x)-1_{α\in[1,2)}1_{|y|\leq 1}σ_x y\cdot abla f(x)]ν_x(d y), $$ where the Lévy measure $ν_x(d y)$ is comparable with a non-degenerate $α$-stable-type Lévy measure (possibly singular), and $σ_x$ is a bounded and nondegenerate matrix-valued function. Under Hölder assumption on $x\mapstoν_x(d y)$ and uniformly continuity assumption on $x\mapstoσ_x$, we show the well-posedness of martingale problem associated with the operator $\mathscr L$. Moreover, we also obtain the existence-uniqueness of strong solutions for the associated SDE when $σ$ belongs to the first order Sobolev space $\mathbb W^{1,p}(\mathbb R^d)$ provided $p>d(1+α\vee 1)$ and $ν_x=ν$ is a non-degenerate $α$-stable-type Lévy measure.

研究の動機と目的

• 状態依存のLévy測度が $ \alpha $-安定型と比較可能な非局所作用素のクラスに対するマルティングール問題の適切な定義を確立すること。
• 拡散係数がソボレフ空間 $ W^{1,p} $ に属する場合に、$ \alpha $-安定型過程によって駆動されるSDEのパスワイズ一意性を調査すること。ここで $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $ である。
• 特異的Lévy測度を有する非局所的・非拡散的ジャンプ過程に、Krylovの推定技法を拡張すること。
• 関連する非局所的放物型PDEにおいて、Lévy測度の特異性と状態依存性が引き起こす課題を克服すること。
• リプシッツ性または有界可測係数の仮定を超えて、不連続なLévyノイズを有するSDEにおける強い一意性のフレームワークを提供すること。

提案手法

• 非局所作用素に対する $ L^p $-最大正則性理論を用いて、関連する非局所的放物型方程式の可解性を分析する。
• ホルダー連続性 $ x \mapsto \nu_x $ および一様連続性 $ x \mapsto \sigma_x $ の下で、Krylov型推定を適用してマルティングール解の存在および一意性を確立する。
• 2つの解の差を分析するために、正則化された $ L^q $-型関数 $ f_\varepsilon(x) = (|x|^2 + \varepsilon)^{q/2} $ を用いた伊藤の公式を用いる。
• ジャンプ時刻を局所化し、解の差 $ Z_t = X_t - Y_t $ の成長を制御するために、停止時刻列 $ \tau_n $ を導入する。
• 補題2.1およびソボレフ埋め込みを用いて、$ \sigma $ の勾配の最大関数をバインドし、$ L^p $ 内の可積分性を導く。
• Lévy測度の対称性と不等式 $ ||x|^q - |y|^q| \leq |x - y|^q $ を用いて、伊藤の公式におけるジャンプ寄与項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存のLévy測度 $ \nu_x $ および拡散係数 $ \sigma_x $ がどのような正則性条件下で、安定型作用素 $ \mathscr{L} $ に関連するマルティングール問題が一意解を有するか。
• RQ2 係数 $ \sigma $ がリプシッツでないが、$ W^{1,p} $ に属する場合、$ \sigma \in W^{1,p}({\mathbb{R}}^d) $ かつ $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $ であるとき、$ \alpha $-安定型Lévy過程によって駆動されるSDEのパスワイズ一意性は確立可能か。
• RQ3 絶対連続でない特異的で状態依存のLévy測度を有する非局所作用素に、Krylov型推定をどのように適応できるか。
• RQ4 $ L^p $-最大正則性が、関連する放物型方程式の可解性の証明に果たす役割は何か。
• RQ5 ブラウン運動を伴うSDEの古典的理論を、不連続な $ \alpha $-安定型ジャンプを有するSDEへとどの程度まで拡張可能か。

主な発見

• Lévy測度 $ x \mapsto \nu_x $ がホルダー連続で、拡散係数 $ x \mapsto \sigma_x $ が一様連続である限り、安定型作用素 $ \mathscr{L} $ に関連するマルティングール問題は適切に定義される。
• 係数 $ \sigma \in W^{1,p}({\mathbb{R}}^d) $ で $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $ を満たすとき、SDE $ dX_t = \sigma(X_t) dL_t $ に対してパスワイズ一意性が成立する。ここで $ \nu_x = \nu $ は非退化な $ \alpha $-安定型Lévy測度である。
• 証明は、2つの解の差にKrylov型推定を適用し、$ q \in (\alpha, 2) $ の正則化された $ L^q $-ノルムを用いることに依存する。
• 勾配の最大関数が $ L^p $ に属することを示し、ソボレフ埋め込みにより推定に必要な可積分性を保証する。
• 停止時刻 $ \tau_n $ を用いた局所化により、$ n $ 番目のジャンプ時刻までに $ X_t = Y_t $ であることが示され、これはほとんど確実にパスワイズ一意性を意味する。
• リプシッツ性より弱い正則性、具体的には $ p > d(1 + \alpha \vee 1) $ の $ W^{1,p} $ 条件の下で、ブラウン運動から $ \alpha $-安定型ジャンプ過程への強い一意性の拡張が達成される。