[論文レビュー] Uniqueness of Stable Processes with Drift

Zhen-Qing Chen, Longmin Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ドリフト項がKatoクラスに属する回転対称$\alpha$-安定Lévy過程によって駆動される確率微分方程式の弱解の存在および一意性を確立する。主な貢献は、関連するマルティングル問題が適切に定義されており、 jointly continuousな遷移密度を有する一意な強マルコフ過程の存在を保証することにある。

ABSTRACT

Suppose that $d\geq1$ and $α\in (1, 2)$. Let $Y$ be a rotationally symmetric $α$-stable process on $\R^d$ and $b$ a $\R^d$-valued measurable function on $\R^d$ belonging to a certain Kato class of $Y$. We show that $ d X^b_t= d Y_t+b(X^b_t) d t$ with $X^b_0=x$ has a unique weak solution for every $x\in \R^d$. Let $\sL^b=-(-Δ)^{α/2} + b \cdot abla$, which is the infinitesimal generator of $X^b$. Denote by $C^\infty_c(\R^d)$ the space of smooth functions on $\R^d$ with compact support. We further show that the martingale problem for $(\sL^b, C^\infty_c(\R^d))$ has a unique solution for each initial value $x\in \R^d$.

研究の動機と目的

• 回転対称$\alpha$-安定過程（$\alpha \in (1,2)$）によって駆動され、ドリフト項を有する確率微分方程式の弱解の存在および一意性を確立すること。
• ドリフトベクトル場$b$がKatoクラスに属する条件下で、生成子${\mathcal{L}}^{b} = -(-\Delta)^{\alpha/2} + b\cdot\nabla$に対するマルティングル問題が${\mathbb{R}}^{d}$上の初期値に対して適切に定義されることを示すこと。
• 有界な$C^{1,1}$領域における結果の過程およびその殺滅版の遷移密度に対する鋭い両側推定を導出すること。

提案手法

• 著者らは、積分条件$M_f^\alpha(r) = \sup_{x} \int_{B(x,r)} \frac{|f(y)|}{|x-y|^{d+1-\alpha}} dy$を用いて、${\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$と呼ばれるKatoクラスを定義し、$\lim_{r\downarrow 0} M_f^\alpha(r) = 0$を要請する。
• 彼らは、$|b| \in {\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$ならば、任意の初期値$x \in {\mathbb{R}}^d$に対して、SDE$dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$が一意な弱解を有することを証明する。
• 証明は、SDEの任意の弱解が$({\mathcal{L}}^b, C_c^\infty({\mathbb{R}}^d))$に対するマルティングル問題を満たし、逆にその逆も成り立つことを示すことに基づく。
• 伊藤の公式およびLévy系表現を用いて、解の連続部分とジャンプ部分を同定し、連続部分が局所マルティングルであることを示し、ジャンプ部分が回転対称$\alpha$-安定過程に対応することを示す。
• 特性関数解析を用いて、確率測度$\mathbb{P}_x$の下で、$Z_t = X^b_t - X^b_0 - \int_0^t b(X^b_s)ds$が回転対称$\alpha$-安定過程であることを確立する。
• 解の一意性は、マルティングル問題の一意性に起因し、これはマルコフ性およびLévy系の構造を用いて確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Y$が回転対称$\alpha$-安定過程であり、$b$がKatoクラス${\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$に属するとき、SDE$dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$は一意な弱解を有するか？
• RQ2 生成子${\mathcal{L}}^b = -(-\Delta)^{\alpha/2} + b\cdot\nabla$に対するマルティングル問題は、各初期値$x \in {\mathbb{R}}^d$に対して適切に定義されるか？
• RQ3 有界な$C^{1,1}$領域における過程$X^b$の遷移密度$p^b(t,x,y)$およびその殺滅版に対して、鋭い両側推定を導出できるか？

主な発見

• ドリフト項$|b| \in {\mathbb{K}}_{d,\alpha-1}$の下で、任意の初期値$x \in {\mathbb{R}}^d$に対してSDE$dX^b_t = dY_t + b(X^b_t)dt$は一意な弱解を有し、その解は強マルコフ過程である。
• 一意な弱解の分布は、$({\mathcal{L}}^b, C_c^\infty({\mathbb{R}}^d))$に対するマルティングル問題の唯一の解であるため、マルティングル問題の適切な定義が確立される。
• 過程$X^b$は、${\mathbb{R}}^d$上のLebesgue測度に関して、 jointly continuousな遷移密度$p^b(t,x,y)$を有する。
• 任意の$T > 0$に対して、定数$c_1 > 1$が存在し、$(t,x,y) \in (0,T] \times {\mathbb{R}}^d \times {\mathbb{R}}^d$に対して、$c_1^{-1} \left(t^{-d/\alpha} \wedge \frac{t}{|x-y|^{d+\alpha}}\right) \leq p^b(t,x,y) \leq c_1 \left(t^{-d/\alpha} \wedge \frac{t}{|x-y|^{d+\alpha}}\right)$が成り立つ。ここで$c_1$は$d$、$\alpha$、$T$、および$M^\alpha_{|b|}(r)$の減衰率に依存する。
• 有界な$C^{1,1}$領域$D$（$d \geq 2$）に対して、殺滅遷移密度$p^b_D(t,x,y)$は境界項$\delta_D(x)^{\alpha/2}$および$\delta_D(y)^{\alpha/2}$を含む鋭い両側推定を満たす。
• 特性関数解析により、$\mathbb{P}_x$の下で$Z_t = X^b_t - \int_0^t b(X^b_s)ds$が回転対称$\alpha$-安定過程であることが確認され、$\mathbb{E}_x[e^{i\xi \cdot Z_t}] = e^{-t|\xi|^\alpha}$が得られる。