[論文レビュー] Uniqueness of the maximal ideal of operators on the $\ell_p$-sum of $\ell_\infty^n\ (n\in\mathbb{N})$ for $1<p<\infty$

Tomasz Kania, Niels Jakob Laustsen|arXiv (Cornell University)|May 22, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$1 < p < \infty$ に対して、$\sigma$-有限な $\sigma$-和空間 $W_p = \left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}} \ell^n_\infty\right)_{\ell^p}$ 及びその双対空間 $W_p^* = \left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}} \ell^n_1\right)_{\ell^q}$ 上の有界線形作用素のバナッハ代数が、一意な最大イデアルを有することを確立する。証明の根幹は、恒等作用素がそれらを通じて因数分解されない作用素の集合が、$\{\ell^n_\infty\}$ を一様に固定する作用素の閉じた作用素イデアルと一致することを示すことであり、超積技術と最小バナッハ空間上の厳密に特異な作用素の性質を用いる。

ABSTRACT

A recent result of Leung (Proceedings of the American Mathematical Society, to appear) states that the Banach algebra $\mathscr{B}(X)$ of bounded, linear operators on the Banach space $X=\bigl(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\ell_\infty^n\bigr)_{\ell_1}$ contains a unique maximal ideal. We show that the same conclusion holds true for the Banach spaces $X=\bigl(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\ell_\infty^n\bigr)_{\ell_p}$ and $X=\bigl(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\ell_1^n\bigr)_{\ell_p}$ whenever $p\in(1,\infty)$.

研究の動機と目的

• Leungの $B(W_1)$ における一意な最大イデアルに関する結果を、$1 < p < \infty$ の全範囲に一般化し、空間 $W_p = \left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}} \ell^n_\infty\right)_{\ell^p}$ に対して拡張すること。
• 双対空間 $W_p^* = \left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}} \ell^n_1\right)_{\ell^q}$ に対しても同様の一意性結果を確立すること。ここで $q$ は $p$ の共役指数である。
• $X = W_p$ および $X = W_p^*$ に対して、集合 $M_X = \{T \in B(X) : \text{恒等作用素 } X \text{ が } T \text{ を通じて因数分解されない}\}$ が閉じた作用素イデアルであることを示し、これによりそれが一意な最大イデアルであることを証明すること。
• 新たな作用素イデアル $S_{\{\ell^n_p : n\in\mathbb{N}\}}(X,Y)$ を導入・分析し、これは $\{\ell^n_p\}$ を一様に固定しない作用素からなるものであり、$p \in [1,\infty]$ に対してその閉じることを証明すること。
• $p \in (1,\infty)$ のとき、集合 $M_{W_p}$ が作用素イデアル $S_{\{\ell^n_\infty : n\in\mathbb{N}\}}(W_p)$ と一致することを示し、これが最大イデアルの一意性を証明する鍵となること。

提案手法

• 作用素 $T \in B(X,Y)$ が $\{\ell^n_p\}$ を一様に固定しない集合として、新たな作用素イデアル $S_{\{\ell^n_p : n\in\mathbb{N}\}}(X,Y)$ を定義し、$\ell^n_p$ の一様 $C$-固定を用いて定義する。
• $\ell^p$-空間の最小性と厳密に特異な作用素の性質を用いて、$p \in [1,\infty]$ 全体で、Pietschの意味での閉じた作用素イデアルを形成することを証明する。
• 特に恒等作用素の因数分解に関連して、$W_p$ 及び $W_p^*$ 上の作用素の振る舞いを分析するために超積技術を用いる。
• $W_p$ が $p \in (1,\infty)$ に対して反射的であることを利用し、作用素のイデアル構造を $B(W_p)$ から $B(W_p^*)$ に随伴写像 $T \mapsto T^*$ を通じて移す。この写像はイデアルのラティスの順序同型を誘導する。
• 有界下限を持つ作用素の摂動に関する補題 2.1 を適用し、作用素 $T$ が $\ell^n_\infty$ のコピーを $C$-固定するならば、$\|S - T\|$ が十分に小さい近傍の作用素 $S$ も $C' > C$ でそのコピーを $C'$-固定する、という性質を示し、固定コピー性質の安定性を保証する。
• 有限ランク近似の列を構成し、射影 $P_k$、$P_{k'}$、$P_m$ を含む可換図式を用いて、$ST'R = I_{W_p}$ となる作用素のペア $R$ と $S$ を構成する。これにより、$T$ が $\ell^n_\infty$ を一様に固定するならば、恒等作用素が $T$ を通じて因数分解されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $1 < p < \infty$ の $B(W_p)$ において、Leungの $p=1$ 時の結果を拡張し、一意な最大イデアルが存在するか？
• RQ2 $M_{W_p} = \{T \in B(W_p) : \text{恒等作用素 } W_p \text{ が } T \text{ を通じて因数分解されない}\}$ は $B(W_p)$ の閉じたイデアルであるか？もしそうならば、それは一意な最大イデアルであるか？
• RQ3 $M_{W_p}$ が、$\{\ell^n_\infty\}$ を一様に固定しない作用素の集合である作用素イデアル $S_{\{\ell^n_\infty : n\in\mathbb{N}\}}(W_p)$ と同値に表現できるか？
• RQ4 $W_p^* = \left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}} \ell^n_1\right)_{\ell^q}$（$q$ は $p$ の共役指数）に対しても同様の結果が成り立つか？
• RQ5 $p \in [1,\infty]$ に対して、作用素イデアル $S_{\{\ell^n_p : n\in\mathbb{N}\}}$ は加法について閉じており、Pietschの意味での適切な作用素イデアルをなすか？

主な発見

• $p \in (1,\infty)$ の各 $p$ に対して、集合 $M_{W_p} = \{T \in B(W_p) : \text{恒等作用素 } W_p \text{ が } T \text{ を通じて因数分解されない}\}$ は閉じたイデアルであり、$B(W_p)$ の一意な最大イデアルである。これは $M_{W_p} = S_{\{\ell^n_\infty : n\in\mathbb{N}\}}(W_p)$ を示すことにより確立される。
• $M_{W_p^*}$ は $B(W_p^*)$ の一意な最大イデアルである。これは随伴写像 $T \mapsto T^*$ を通じて得られ、$B(W_p)$ と $B(W_p^*)$ のイデアルのラティス間の順序同型を誘導し、$M_{W_p}$ を $M_{W_p^*}$ に写す。
• $\ell^p$-空間の最小性と超積技術の応用により、$p \in [1,\infty]$ 全体で、作用素イデアル $S_{\{\ell^n_p : n\in\mathbb{N}\}}(X,Y)$ は加法について閉じており、Pietschの意味での閉じた作用素イデアルをなす。
• 作用素 $T \in B(W_p)$ が $\{\ell^n_\infty\}$ を一様に固定するとは、恒等作用素 $W_p$ が $T$ を通じて因数分解されることと同値である。この同値関係が、$M_{W_p}$ と作用素イデアル $S_{\{\ell^n_\infty : n\in\mathbb{N}\}}(W_p)$ の同定に不可欠な役割を果たす。
• 有限ランク近似と射影 $P_k$、$P_{k'}$、$P_m$ を含む可換図式を用いて、$ST'R = I_{W_p}$ となる作用素 $R$ と $S$ を構成することで、$T$ が $\ell^n_\infty$ を一様に固定するならば、恒等作用素が $T$ を通じて因数分解されることを証明し、特性化を完成させる。
• 証明は超積を用いて $W_p$ 上の作用素の振る舞いを分析し、特に、$T$ の有限ランク摂動が $c_0$ や $\ell^n_\infty$ を固定する性質を保つことを示す。これは因数分解の議論において本質的である。