[論文レビュー] Uniqueness of the measure of maximal entropy for the squarefree flow

Ryan Peckner|arXiv (Cornell University)|May 13, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、平方自由整数に関連する力学系である平方自由フローが、一意に最大エントロピー測度を持つことを証明し、これをクラインカー系とベルヌーイ移動のずらし積として明示的に構成する。数論的解析を用いて、この測度がギブズ性を満たさないことを示し、符号的力学系および数論的力学系における重要な問題を解決する。

ABSTRACT

The squarefree flow is a natural dynamical system whose topological and ergodic properties are closely linked to the behavior of squarefree numbers. We prove that the squarefree flow carries a unique measure of maximal entropy and express this measure explicitly in terms of a skew-product of a Kronecker and a Bernoulli system. Using this characterization and a number-theoretic argument, we then show that the unique maximum entropy measure fails to possess the Gibbs property.

研究の動機と目的

• 平方自由数に関連する位相的力学系としての平方自由フローに対して、最大エントロピー測度の存在と一意性を確立すること。
• この一意な測度を、クラインカー系とベルヌーイシフトのずらし積として明示的に特徴づけること。
• この最大エントロピー測度が、平衡統計力学およびエルゴディック理論における中心的概念であるギブズ性を満たすかどうかを調査すること。
• 一般に複数の最大エントロピー測度が可能である可能性がある系において、特に数論的制約を含む符号的シフトでは、一意性の問題を解明すること。

提案手法

• 各素数 $p$ に対して $p^2$ を法とする省かれた剰余類を用いて、平方自由フローから積群 $\prod_p \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ へのボレル可測な因子写像を構成する。
• 群 $G = \prod_p \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ 上のハール測度と $\{0,1\}^\mathbb{N}$ 上の公平なコイン投げ（ベルヌーイ(1/2,1/2)）測度の積の押し出しとして、最大エントロピー測度 $\eta$ を定義する。
• フビニの定理を用いて、シリンダーセット確率 $\eta(C_w)$ を、すべての $p$ に対して $w$ の台を法 $p^2$ で避ける群元の集合 $G(w)$ における積分として表現する。
• 素数定理とリーマン＝スティルチェス積分を用いて、積 $\prod_{p > \sqrt{n}} \left(1 - \frac{|\operatorname{supp}(w)|}{p^2}\right)$ を用いて $\eta(w)$ を評価する。
• テイラー展開による $\log(1-x)$ の展開を用いて積項の対数を推定し、$Q(n)/\sqrt{n} \log n$ を含む漸近的評価を得る。ここで $Q(n)$ は $n$ 以下の平方自由数の個数を表す。
• $e^{n h_{\text{top}}(X)} \eta(w^{(n)}) \to 0$ が $n \to \infty$ のとき成り立つことを示し、ギブズ測度に必要な一様下界が満たされないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号的力学系において数論的制約を伴う系として、平方自由フローは一意な最大エントロピー測度をもつか、一般に複数の最大エントロピー測度が存在しうるという可能性を考慮してもかまわないか？
• RQ2 平方自由フローにおける一意な最大エントロピー測度は、既知の力学系の観点から明示的に記述可能か？
• RQ3 この一意な測度は、平衡統計力学および熱力学的形式主義における重要な特徴であるギブズ性を満たすか？
• RQ4 特に、平方自由数の密度および $p^2$ を法とした分布といった数論的性質が、系のエントロピーおよび測度構造を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 平方自由フローは一意に最大エントロピー測度を持つことが保証され、符号的力学系における長年の未解決問題が解決された。
• この一意な測度は、群 $\prod_p \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ 上のハール測度と $\{0,1\}^\mathbb{N}$ 上の公平なベルヌーイ測度の積の押し出しとして明示的に構成され、ずらし積系を形成する。
• 測度がギブズ性を満たさないことが示され、$e^{n h_{\text{top}}(X)} \eta(w^{(n)}) \to 0$ が $n \to \infty$ のとき成り立つことにより、ギブズ測度に必要な一様下界が破られる。
• 平方自由フローの位相的エントロピーは $\frac{6}{\pi^2} \log 2$ に等しく、これは自然数 $\mathbb{N}$ における平方自由整数の密度と一致し、エルゴディック理論と数論の間の深い関係を裏付けている。
• $n$ までの平方自由数の個数の誤差項 $R(n)$ は、任意の $A > 0$ に対して $R(n) = o\left(\frac{\sqrt{n}}{(\log n)^A}\right)$ を満たすことが示され、これはシリンダーセット上の測度の減衰率を評価する上で重要である。
• この結果は、一意な最大エントロピー測度がギブズでないことを示唆しており、$\mathscr{B}$-フリー移動におけるこのような測度が一般にギブズ性を欠く可能性があるが、一般の $\mathscr{B}$-フリー系では未解決のままである。