[論文レビュー] Uniqueness of the Momentum map

Chiara Esposito, Ryszard Nest|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2012

Mathematics and Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ポisson幾何におけるルの一般化された運動量写像の一意性と可積分性を調査し、リー双代数からポアンカーマンフォールドのde Rham複体へのゲルステンハーバー代数の準同型である無限小運動量写像に焦点を当てる。この無限小写像がグローバル運動量写像に可積分となる条件を確立し、曲率に類似た定数が消えるヘイゼンベルクの場合に、$<\mathbb{R}>$-作用による一意性を証明するとともに、コホモロジー的方程式を用いて無限小変形を特徴づける。

ABSTRACT

We give a detailed discussion about existence and uniqueness of Lu's momentum map. More precisely, we introduce the infinitesimal momentum map, and we study its properties. This allows us to describe the theory of reconstruction of the momentum map from the infinitesimal one. We provide the conditions for the uniqueness of the momentum map.

研究の動機と目的

• ポアンカーマンフォールド幾何におけるルの一般化された運動量写像の存在と一意性を明確化すること。
• 無限小運動量写像を、リー双代数からポアンカーマンフォールドのde Rham複体へのゲルステンハーバー代数の準同型として定義し、その性質を分析すること。
• 無限小運動量写像がグローバル運動量写像に可積分となる条件を特定すること。
• コホモロジー的方程式を用いて運動量写像の無限小変形の空間を特徴づけること。

提案手法

• 無限小運動量写像を、2つの重要な方程式を満たすゲルステンハーバー代数の準同型として導入する：$\alpha_{[\xi,\eta]} = [\alpha_\xi, \alpha_\eta]_\pi$ および $d\alpha_\xi + \frac{1}{2}\alpha \wedge \alpha \circ \delta(\xi) = 0$。
• Mazur-Cartan型方程式を用いて、ゲージ同値類の下での解を分析し、特にMがケーラー多様体である場合、解が$[c,c] = 0$を満たすコホモロジー類$c \in H^1(M, \mathfrak{g}^*)$と一対一対応することを示す。
• 可積分性の条件を確立する：MとGが単連結で、Gがコンパクトであるとき、分布$\mathcal{D} = \{\alpha_\xi - \theta_\xi\}$が可換的で、葉$\mathcal{F}$上で$\pi(\alpha_\xi, \alpha_\eta) - \pi_{G^*}(\theta_\xi, \theta_\eta)|_{\mathcal{F}} = 0$を満たす必要がある。
• 具体的なケースを分析する：アーベル双対群とヘイゼンベルク群の例を提示し、曲率に類似た定数$c$が消えない限り、可積分性が成立しないことを示す。
• 運動量写像の無限小変形の空間を、方程式系$X_\xi H(\eta) - X_\eta H(\xi) = H([\xi,\eta])$および$\{H(\xi), \cdot\} = -X_{\mathrm{ad}^*_{H}\xi}$により導出する。
• Gがコンパクトで半単純である場合、すべての無限小変形が、$X_\xi \Phi = H(\xi)$を満たすハミルトニアン関数$\Phi$から生じることを証明し、ゲージ理論的構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小運動量写像がポアンカーマンフォールド上でのグローバル運動量写像に可積分となる条件は何か？
• RQ2 ヘイゼンベルク群の双対に対して、運動量写像の可積分性を決定づける曲率に類似た定数$c = \pi(\alpha_\xi, \alpha_\eta)$の役割は何か？
• RQ3 運動量写像の無限小変形は、代数的および幾何的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 運動量写像の空間のコホモロジー的構造は何か？また、ゲージ変換とどのように関係するか？
• RQ5 運動量写像の空間が$C^\infty$位相において平坦多様体構造をもつのはいつか？

主な発見

• 無限小運動量写像がゲルステンハーバー代数の準同型として存在するための必要十分条件は、2つの方程式$\alpha_{[\xi,\eta]} = [\alpha_\xi, \alpha_\eta]_\pi$および$d\alpha_\xi + \frac{1}{2}\alpha \wedge \alpha \circ \delta(\xi) = 0$を満たすことである。
• Mがケーラー多様体であるとき、2番目の方程式の解のゲージ同値類の集合は、$[c,c] = 0$を満たすコホモロジー類$c \in H^1(M, \mathfrak{g}^*)$と一対一対応する。
• ヘイゼンベルク群の双対に対しては、運動量写像が存在するための必要十分条件は、曲率定数$c = \pi(\alpha_\xi, \alpha_\eta)$が消えることである。$c = 0$のとき、運動量写像の空間は$\mathbb{R}$上でのトーラスである。
• 運動量写像の無限小変形の空間は、2つの方程式$X_\xi H(\eta) - X_\eta H(\xi) = H([\xi,\eta])$および$\{H(\xi), \cdot\} = -X_{\mathrm{ad}^*_{H}\xi}$によって支配され、これは$C^\infty$位相において平坦多様体構造を定義する。
• Gがコンパクトで半単純であるとき、すべての無限小変形は、$X_\xi \Phi = H(\xi)$を満たすハミルトニアン関数$\Phi$から生じる。関連するベクトル場は群作用と可換である。
• 変形空間は、群作用と可換なハミルトニアンベクトル場を持つG-不変関数$\Phi$の空間と同型であり、変形のゲージ理論的解釈を示唆する。