[論文レビュー] Uniqueness of the Ricci Flow on Complete Noncompact Manifolds

Bing-Long Chen, Xi-Ping Zhu|ArXiv.org|May 21, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有界曲率をもつ完備非コンパクトリーマン多様体上のリッチフロー解の一意性を、デ・トゥルクの技法と調和写像フローを用いて確立する。これにより、従来の結果で要請されていた注釈半径の下界の仮定を克服した。主な結果は、同一の初期データと有界曲率をもつ2つのリッチフローフロー解が、時間区間 [0,T] 全体で一致することを示している。

ABSTRACT

The Ricci flow is an evolution system on metrics. For a given metric as initial data, its local existence and uniqueness on compact manifolds was first established by Hamilton \cite{Ha1}. Later on, De Turck \cite{De} gave a simplified proof. In the later of 80's, Shi \cite{Sh1} generalized the local existence result to complete noncompact manifolds. However, the uniqueness of the solutions to the Ricci flow on complete noncompact manifolds is still an open question. Recently it was found that the uniqueness of the Ricci flow on complete noncompact manifolds is important in the theory of the Ricci flow with surgery. In this paper, we give an affirmative answer for the uniqueness question. More precisely, we prove that the solution of the Ricci flow with bounded curvature on a complete noncompact manifold is unique.

研究の動機と目的

• 完備非コンパクト多様体上のリッチフローの一意性に関する未解決問題を解消すること。これは、手術を伴うリッチフローにとって極めて重要である。
• 従来の結果で要請されていた初期計量の注釈半径の正の下界の仮定を排除すること。
• 非コンパクト多様体上でのリッチフローフロー解の一意性に、有界曲率のみが十分であることを確立すること。
• リッチ＝デ・トゥルクフロー、調和写像フロー、および共形変換を組み合わせた新しいアプローチを構築し、無限遠における一様な幾何的性質を達成すること。
• 初期計量に対して曲率の有界性仮定なしに、リッチフローの短時間存在結果を導く基盤を提供すること。

提案手法

• 調和写像フローによって生成される微分同相写像を用いて、弱い放物型のリッチフローを、厳密な放物型系に変換するデ・トゥルクの技法を適用する。
• 初期多様体と無限遠で一様に制御された幾何的性質をもつ目標多様体との間で調和写像フローを構築する。
• 共形変換を用いて、無限遠における初期計量を平らにする。これにより、局所的凸性が一様に保たれ、調和写像フローの短時間存在が保証される。
• 調和写像フローに対する事前推定を確立し、引き戻されたリッチ＝デ・トゥルク系が必要な成長条件を満たすことを保証する。
• 幾何的性質が制御されたコンパクト化多様体上で最大値原理を用いて、2つのリッチ＝デ・トゥルクフロー解を比較する。
• 調和写像フローによって生成される微分同相写像が、同一の常微分方程式と同一の初期データを満たすことを示し、それらが一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界曲率をもつ完備非コンパクト多様体上のリッチフローは、短時間の間、一意的な解をもつか？
• RQ2 初期計量の注釈半径の正の下界の仮定なしに、リッチフローの一意性を確立できるか？
• RQ3 調和写像フローと共形幾何学を用いて、非コンパクト多様体上でのリッチフロー解の無限遠における振る舞いを制御することは可能か？
• RQ4 有界曲率のみを仮定し、追加の幾何的仮定なしに、デ・トゥルクの技法を非コンパクト設定に拡張できるか？
• RQ5 曲率の有界性は、非コンパクト多様体上の放物型系の一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 有界曲率をもつ完備非コンパクトリーマン多様体上でのリッチフロー解は、初期計量が固定されているとき、すべての時刻 t ∈ [0,T] で一意的である。
• 注釈半径の正の下界の仮定を要しないという一意性結果が成立し、これにより従来の研究における主要な制限が排除された。
• 同一の初期データと有界曲率をもつ2つのリッチフローフロー解は、多様体全体および時間区間全体で同一であることが証明された。
• 証明で用いられた調和写像フローは短時間存在し、無限遠における初期計量の共形的平坦化のおかげで必要な事前推定を満たす。
• デ・トゥルク変換と最大値原理による解の比較により、フローによって生成される微分同相写像が一致することが示され、計量の同値性が導かれた。
• 系1.2は、初期計量の等長変換がリッチフローを保存することを確認している。すなわち、同じ有界曲率条件のもとで、すべての t に対して σ* g(·,t) = g(·,t) が成り立つ。