[論文レビュー] Uniqueness results for convex Hamilton-Jacobi equations under $p>1$ growth conditions on data

Francesca Da Lio, Olivier Ley|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、データの $p>1$ 成長条件の下で、劣勾配非線形性が超線形的かつ凸である退化放物型ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式に対する粘性解の一意性と存在性を確立する。著者らは、ハミルトニアンに明示的な上界を含まない、新たな粘性解の定式化を導入することで、無限大における成長が $o(1+|x|^p)$ 以下である解についても、拡散係数が制御に関して有界でない場合でさえ、比較原理を証明する。これにより、有界でない確率的制御問題や後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）への応用が可能になる。

ABSTRACT

Unbounded stochastic control problems may lead to Hamilton-Jacobi-Bellman equations whose Hamiltonians are not always defined, especially when the diffusion term is unbounded with respect to the control. We obtain existence and uniqueness of viscosity solutions growing at most like $o(1+|x|^p)$ at infinity for such HJB equations and more generally for degenerate parabolic equations with a superlinear convex gradient nonlinearity. If the corresponding control problem has a bounded diffusion with respect to the control, then our results apply to a larger class of solutions, namely those growing like $O(1+|x|^p)$ at infinity. This latter case encompasses some equations related to backward stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 制御に関して有界でない拡散係数を伴う退化放物型HJB方程式の粘性解に対する比較および一意性結果を、制御に関する有界でない場合にまで拡張すること。
• 制御集合が無限大に及ぶ場合、および拡散項が制御に従って増大する場合に、ハミルトニアンが無限大に達する可能性があるという課題に対処すること。
• データの $p>1$ 成長条件の下で、無限大における成長が $o(1+|x|^p)$ 以下である解について、存在性と一意性を確立すること。
• 二次的成長から一般の $p>1$ 成長への一般化を図り、後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）への応用を含めること。
• ハミルトニアンに明示的な上界を含まない、新たな粘性解の定式化を提供することで、$H$ が連続でない場合でも解析が可能になるようにすること。

提案手法

• ハミルトニアンの定義を明示的な上界を含まない形に再定式化することで、$H$ が無限大であっても解が適切に定義可能であるようにする、新たな粘性解の定式化を導入する。
• 境界関数 $h(x) = \overline{C}(1 + |x|^p)$ を用いた摂動されたテスト関数法により、無限大における成長を制御する。
• 変数の二重化技法を用い、$\varphi$ が特定の常微分方程式を満たすように変更されたテスト関数 $\Phi(x,t) = C\varphi(t)h(x)$ を導入する。
• 最大値原理に基づく比較原理の議論を展開し、$Dh$、$D^2h$、および $\sigma\sigma^T$ のトレースに関する推定値を用いる。
• 非線形項 $f$ の成長を $p$-成長仮定により制御し、共役指数 $p'$ を用いて $f$ の勾配項をバインドする。
• 演算子が $\Phi$ に作用する際に正のまま保たれるように、パラメータ $C$、$L$、$\tau$ を固定し、比較原理に必要な不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御に関して有界でない拡散係数を伴う退化放物型HJB方程式の粘性解について、ハミルトニアンが無限大に達する可能性がある場合でも、一意性を確立できるか？
• RQ2 データ（例：$b$、$\sigma$、$\ell$ の成長率）にどのような条件が課されれば、無限大における成長が $o(1+|x|^p)$ 以下の解について、存在性と一意性が保証されるか？
• RQ3 制御が無限大に達する場合にハミルトニアンが連続でなくなる状況に対処できるように、粘性解の概念をどのように再定式化できるか？
• RQ4 後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に由来する方程式に対して、これらの結果がどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 標準的な $O(1+|x|^p)$ のクラスがハミルトニアンの発散により不十分である場合、$p$-成長を示す解についても、比較原理を証明できるか？

主な発見

• ハミルトニアンに明示的な上界を含まない新たな粘性解の定式化が導入され、$H$ が無限大であっても解の定義が可能になる。
• データの $p>1$ 成長条件の下で、無限大における成長が $o(1+|x|^p)$ 以下の粘性下位解および上位解について、比較原理が成立する。
• 劣勾配非線形性が超線形的かつ凸であり、制御に関して有界でない拡散項を伴う退化放物型HJB方程式に対して、粘性解の存在性と一意性が確立される。
• 結果は有界でない確率的制御問題に適用可能であり、後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に関連する方程式へも拡張可能である。
• 制御に関して有界な拡散係数を伴う場合、解の成長が $O(1+|x|^p)$ にまで拡張可能であり、古典的な確率的線形2次形式問題をカバーする。
• 証明は、適切に構築された境界関数とパラメータ選定に依存しており、摂動されたテスト関数上での微分作用素の正の性質を保証することで、比較原理の妥当性が裏付けられる。