[論文レビュー] Uniqueness results on phaseless inverse scattering with a reference ball

Zhang, Deyue, Guo, Yukun|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2018

Numerical methods in inverse problems被引用数 45

ひとこと要約

この論文は、固定された平面波と点源を入射波として重ね合わせることで、参照球を導入することにより、ヘルムホルツ方程式における位相なし逆散乱問題における一意性を確立する。この手法により、並進不変性が克服され、単一周波数における遠方場データの位相のみから、障害物の形状、境界条件、または媒質の屈折率を一意に回復可能となる。

ABSTRACT

This paper is devoted to the uniqueness in inverse acoustic scattering problems for the Helmholtz equation with phaseless far-field data. Some novel techniques are developed to overcome the difficulty of translation invariance induced by a single incident plane wave. In this paper, based on adding a reference ball as an extra artificial impenetrable obstacle (resp. penetrable homogeneous medium) to the inverse obstacle (resp. medium) scattering system and then using superpositions of a fixed plane wave and some point sources as the incident waves, we rigorously prove that the location and shape of the obstacle as well as its boundary condition or the refractive index can be uniquely determined by the modulus of far-field patterns. The reference ball technique in conjunction with the superposition of incident waves brings in several salient benefits. First, the framework of our theoretical analysis can be applied to both the inverse obstacle and medium scattering problems. Second, for inverse obstacle scattering, the underlying boundary condition could be of a general type and be uniquely determined. Finally, only a single frequency is needed.

研究の動機と目的

• 遠方場データの強度（大きさ）のみが利用可能な位相なし逆散乱における並進不変性という根本的課題に取り組む。
• 位相なし遠方場パターンからの散乱体の位置と形状の同定における非一意性問題を克服する。
• 遠方場データの位相のみを用いて、散乱体の幾何学的形状と境界条件（または屈折率）を一意に特定する理論的枠組みを構築する。
• 逆障害体散乱および逆媒質散乱問題の両方に適用可能な統一的アプローチを確立する。
• 複数周波数や複数方向のデータを必要とせず、単一周波数で一意性を達成する。

提案手法

• 並進不変性を破るために、人工的障害体としての音軟性球を導入する。
• 固定された平面波と複数の点源を入射場として重ね合わせ、豊富な遠方場データを生成する。
• 対称性関係と遠方場パターンの解析性を用いて、背理法による一意性を導出する。
• グリーンの第二恒等式とヘルムホルツ方程式を用いて、参照球の境界上で積分恒等式を導出する。
• 複素指数関数的位相関係と遠方場パターンの零でない性質を活用し、誤った解（偽解）を除外する。
• 同一の遠方場パターンの位相が同一であるならば、同一の全場が得られ、結果として同一の散乱体と境界条件が得られることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相なし逆散乱における並進不変性は、どのようにして克服され、散乱体の位置と形状を一意に特定できるか？
• RQ2 音響的に不透光な障害体の境界条件は、位相なし遠方場データのみから一意に特定可能か？
• RQ3 位相なし遠方場パターンの位相のみを用いて、不均一な透過媒質の屈折率を一意に再構成可能か？
• RQ4 参照球と重ね合わせ入射波の組み合わせは、障害体散乱および媒質散乱問題の両方で一意性を実現可能か？
• RQ5 単一周波数と位相なし遠方場データのみで一意性を達成可能か？

主な発見

• 固定された平面波と点源の重ね合わせを用いた参照球技術により、位相なし逆散乱における並進不変性が効果的に克服された。
• 一般の混合境界条件（ディリクレ型、ノイマン型、インピーダンス型を含む）に対して、障害物の形状と境界条件の両方が一意に証明された。
• 提案された入射波配置を用いることで、透過媒質の屈折率は遠方場パターンの位相のみから一意に特定可能である。
• 一意性を達成するには単一周波数のみで十分であり、従来の多周波数データを必要としていた手法に比べ顕著な改善がなされた。
• 遠方場パターンの解析性と対称性関係が、誤った解の排除と一意性の証明に重要な役割を果たす。
• 本手法は理論的に堅牢であり、位相なしデータを用いた逆障害体散乱および逆媒質散乱問題の両方に適用可能である。