[論文レビュー] Uniqueness Theorems for Fourier Quasicrystals and Temperate Distributions with Discrete Support

S. Favorov|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2020

Analytic and geometric function theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二つの分布の台と質量が無限遠において漸近的に近接する場合、それらが同一であることを示すことにより、フーリエ準結晶および離散的テンパレート分布の一意性定理を確立する。主な結果は、台の位置と質量の漸近的接近が、特定の幾何的密度を持つ集合における弱化された疎らかさおよび局在化条件のもとでも、完全な一致を意味することである。

ABSTRACT

It is proved that if some points of the supports of two Fourier quasicrystals approach each other while tending to infinity and the same is true for the masses at these points, then these quasicrystals coincide. A similar statement is obtained for a certain class of discrete temperate distributions.

研究の動機と目的

• 分布の台と質量の漸近的挙動に基づいて、二つのフーリエ準結晶または離散的テンパレート分布が同一である条件を確立すること。
• これまでのほぼ周期的関数および零点集合に関する結果を、離散的台とスペクトルをもつより広いクラスの分布へ一般化すること。
• 疎らかさおよび一様離散性の仮定を弱めつつ、漸近的接近条件のもとで一意性を保つこと。
• 測度に限らないが、原子的または離散的構造をもつテンパレート分布へ理論を拡張すること。
• 原子的でない場合、特に絶対連続成分を含む場合を含め、ほぼ周期的測度についても一意性原理が成り立つかを検討すること。

提案手法

• フーリエ変換が原子的であり、全 Variation 測度もテンパレートであるような離散的テンパレート分布として疎らかフーリエ準結晶を定義する。
• テンパレート分布上のフーリエ変換を双対性により定義する：φ ∈ S(ℝ^d) に対して ⟨f̂, φ⟩ = ⟨f, φ̂⟩ が成り立つ。
• 点列 {x_k} と半径 {r_k} に対して、r_k → ∞ かつ r_k/|x_k| → 0 を満たす球 B(x_k, r_k) を用いて、集合 E に幾何的条件 (4) を導入し、無限遠における十分な密度を保証する。
• コンパクト台を持つ微分可能関数の族 ψ_t を用いて、変位関数 H(t) = f(ψ_t) − g(ψ_t) のほぼ周期性を適用する。
• 背理法を用い、分布係数の一様収束を用いる：H(t) が点で非ゼロであるが、相対的に稠密な集合に沿って |H(t)| → 0 ならば、矛盾が生じる。
• テスト関数の微分が一様連続的かつ有界であることを利用し、遠方の点における分布値を局所的挙動によって近似可能であることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つのフーリエ準結晶の台と質量が無限遠で漸近的に近接する場合、どのような条件下でそれらが必ず一致するか？
• RQ2 一様離散的または疎らか測度を超えて、より一般的な離散的テンパレート分布へ一意性結果を拡張できるか？
• RQ3 集合 E が条件 (4) を満たすが、グローバルな疎らかさがない場合でも、台と質量が近接するならば、二つの分布が一致するか？
• RQ4 原子的成分に加えて絶対連続成分を含む分布に対しても、一意性原理を拡張できるか？
• RQ5 離散的スペクトルと台を持つ場合に限らず、一般のほぼ周期的測度に対しても一意性結果が成り立つか？

主な発見

• 二つの疎らかフーリエ準結晶 μ と ν が、λ_n − γ_n → 0 および μ(λ_n) − ν(γ_n) → 0 を満たすならば、μ ≡ ν が成り立つ。
• 一意性条件は局所化可能である：集合 E が性質 (4) を満たすならば、グローバルな疎らかさがなくても、台と質量が漸近的に近接するならば μ ≡ ν が成り立つ。
• グループ化された台に対しても結果は拡張可能である：μ と ν が原子的であり、成分 Λ_n, Γ_n が、diam(Λ_n ∪ Γ_n) → 0 および μ(Λ_n) − ν(Γ_n) → 0 を満たすならば、μ ≡ ν が成り立つ。
• 証明は、ある点で非ゼロだが、相対的に稠密な集合に沿って 0 に収束する almost periodic 関数 H(t) = f(ψ_t) − g(ψ_t) を構成することに依存し、これにより背理が導かれる。
• 分布係数の変位および局所化における挙動を分析することにより、測度に限らない一般の離散的テンパレート分布に対してもこの手法が適用可能である。
• 測度の全 Variation が S*(ℝ^d) に属さない場合でも、結果は成り立つ。これは、古典的フーリエ準結晶理論における標準的仮定を緩和した点である。