[論文レビュー] Uniqueness Theorems for Subharmonic and Holomorphic Functions of Several Variables on a Domain

Б. Н. Хабибуллин, Nargiza Tamindarova|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、テスト関数とRiesz測度を用いて、領域上の複数変数のサハーモニック関数が境界付近およびコンパクト部分集合上での挙動によって一意に定まる条件を特徴づける、一般化された一意性定理を確立する。主要な結果は、正則関数へと拡張され、成長制限および零点集合の条件のもとで一意性が示される。

ABSTRACT

We establish a general uniqueness theorem for subharmonic functions of several variables on a domain. A corollary from this uniqueness theorem for holomorphic functions is formulated in terms of the zero subset of holomorphic functions and restrictions on the growth of functions near the boundary of domain.

研究の動機と目的

• 領域上における複数変数のサハーモニック関数の一意性定理を一般化して確立すること。
• 正則関数が零点集合および境界付近での成長性によっていつ一意に定まるかを特徴づける条件を特定すること。
• コンパクト部分集合の外部におけるテスト関数を導入し、サハーモニック関数の挙動および成長を制御すること。
• サハーモニック関数の一意性を、それらのRiesz測度およびこれらの測度に対するテスト関数の可積分性と関連付けること。
• ポテンシャル理論およびバレーイジング技術を用いて、古典的一意性結果を高次元領域へと拡張すること。

提案手法

• 領域 $D\setminus K$ 上で $\partial D$ で消え、$D\setminus K$ で有界であるような $\operatorname{sbh}_{0}^{+}(D\setminus K)$ に属するテスト関数を定義し、境界およびコンパクト集合 $K$ 付近での挙動を制御する。
• サハーモニック関数 $u$ に関連する分布的ラプラシアンを表すRiesz測度 $\nu_u = c_{2n} \Delta u$ を用い、ポテンシャル理論と関連付ける。
• 点 $x_0$ に極を持つ極限関数 $V$ を近似するためのJensen型関数列 $V_n = \max\{0, V - 1/n\}$ を構成し、特定の漸近的および調和的性質を満たすようにする。
• $\mathbb{R}^m_\infty \setminus \{x_0\}$ における最大値原理および比較原理を用いて、$V_n$ とRiesz測度 $\nu_u$ の積分を評価する。
• $D\setminus D_1$ 上で $V_n \nearrow \frac{1}{c}v$ および $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_M < \infty$ の有限性を用いて、$\int_{D\setminus K} v \, d\nu_u$ の有限性を示す。
• バレーイジングおよびポテンシャル論的推定を用いて、$u$ の成長性とテスト関数およびRiesz測度の台の挙動とを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サハーモニック関数がRiesz測度および境界付近での挙動によっていつ一意に定まるか。
• RQ2 コンパクト集合の外部におけるテスト関数を用いて、複数変数におけるサハーモニック関数の一意性をどのように特徴づけられるか。
• RQ3 正則関数の成長制限は、その零点集合に基づく一意性を保証するためにどの程度必要か。
• RQ4 Riesz測度およびバレーイジング技術は、古典的一意性定理を高次元領域へとどのように拡張するか。
• RQ5 $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_u$ の有限性は、$\operatorname{sbh}_*(D)$ 内の $u$ の一意性とどのように関係するか。

主な発見

• サハーモニック関数 $u$ のRiesz測度 $\nu_u$ はRadon測度であり、相対的にコンパクトな部分集合上で有限であれば、適切に振る舞うポテンシャル論的構造が保証される。
• $u \in \operatorname{sbh}_*(D)$ のとき、任意の $v \in \operatorname{sbh}_0^+(D\setminus K)$ および $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_M < \infty$ を満たす主要化関数 $M$ に対して、$\int_{D\setminus K} v \, d\nu_u$ は有限である。
• 構成された関数 $V = \frac{1}{c}\widetilde{v}$ は、$\lim_{x \to x_0, x \neq x_0} \frac{V(x)}{|h_m(x - x_0)|} = 1$ を満たし、$x_0$ における極の強さが正しく保証される。
• $V_n = \max\{0, V - 1/n\}$ は $D\setminus D_1$ 上で $\frac{1}{c}v$ に単調に収束するため、積分比較原理の適用が可能になる。
• $\int_{D\setminus K} v \, d\nu_u$ の有限性は、$\int_{D\setminus K} v \, d\nu_M$ との比較および $\nu_M(D_1 \setminus \overline{B}(x_0,r_0))$ を含む有界項を用いて確立される。
• この結果は、関連するRiesz測度がテスト関数と可積分である場合、正則関数が零点集合および成長条件によって一意に定まることを示唆する。