[論文レビュー] Uniruled varieties with split tangent bundle

Andreas Höring|arXiv (Cornell University)|May 16, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、接バンドルが分解する射影的ユニルール多様体の構造を調査し、和分岐が積分可能である場合、普遍被覆が多様体の積に分解され、接バンドルがその積の接バンドルに引き戻されることを証明する。モーリー理論とエレスマンの定理を用いて、このような多様体が分解と整合的なファイバー空間構造を有することを確立し、特にランク2の因子をもつユニルール4次元多様体の特殊な場合に、ある予想を解決する。

ABSTRACT

Beauville asked if a compact K\"ahler manifold with split tangent bundle has a universal covering that is a product of manifolds. We use Mori theory and elementary results about holomorphic foliations to study this problem for projective uniruled varieties. In particular we obtain an affirmative answer for rationally connected varieties in any dimension and uniruled varieties in dimension 4.

研究の動機と目的

• コンパクトなケーラー多様体の接バンドルが分解する場合の構造に関するボーヴィルの予想を解決すること。
• ユニルール多様体における積分可能性の失敗を調査すること。これは、予想の結論が失敗する可能性がある唯一のケースである。
• ユニルール多様体の接バンドルが分解している場合に、その普遍被覆が多様体の積に分解する条件を確立すること。
• 特にランク2の因子をもつ4次元の場合に、接バンドルの分解に関する既知の結果をユニルールの場合に拡張すること。

提案手法

• 文献に依拠する分類結果を用いて、接バンドルが分解するユニルール4次元多様体上の基本的モーリー収縮の構造を分析する。
• 古典的エレスマンの定理を適用し、局所的なファイバー空間構造から大域的な積構造を導出する。
• 変形理論と接バンドルの分解を用いて、ファイバー内の有理曲線とその普遍被覆への引き戻しを分析する。
• 正則フォリエーション理論と接バンドルの和分岐への積分可能性条件を用いる。
• 最小モデルプログラムを用いて、問題をファイバー型収縮の状況に還元し、決定的ラインバンドルの振る舞いに注目する。
• フォロケーションの葉への引き戻しバンドルの制限が被覆写像であることを確認し、エレスマンの定理の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理曲線的多様体の接バンドルが分解している場合、その普遍被覆が多様体の積に分解する条件は何か？
• RQ2 ユニルールの場合に、接バンドルの和分岐の積分可能性を保証できるか。そうでない場合、どのような構造的制約が生じるか？
• RQ3 ファイバー内の有理曲線の存在は、接バンドル分解における補完的部分バンドルの積分可能性とどのように関係するか？
• RQ4 基本的モーリー収縮は、接バンドルが分解している多様体の大域的構造を理解するために果たす役割は何か？
• RQ5 接バンドルの分解は、分解と整合的なファイバー空間構造をどのように示唆するか？

主な発見

• 有理的連結多様体で接バンドルが分解している場合、和分岐のいずれかが積分可能であれば、多様体は2つの多様体の積に同型であり、接バンドルは積の接バンドルに引き戻される。
• ランク2+2の接バンドルが分解しているユニルール4次元多様体では、両方の和分岐が積分可能であれば、普遍被覆は積に分解され、各因子の引き戻しは因子の接バンドルの引き戻しとなる。
• 接バンドルが分解しているユニルール4次元多様体の基本的モーリー収縮は、P1-バンドルまたは円錐バンドルであり、ファイバー構造は分解と整合的である。
• 接バンドルの分解は双有理収縮の下でも保存され、最小モデルプログラムにおいてファイバー型収縮に還元可能である。
• フォロケーションの葉への引き戻しバンドルの制限は被覆写像である。これに加えてエレスマンの定理を適用することで、普遍被覆の大域的積構造が示される。
• 例外的除集合の正規バンドルへの2番目の因子バンドルからの標準写像は0であり、これにより例外的除集合の接空間が1番目の因子との交わりと2番目の因子に分解可能となる。