[論文レビュー] Uniruledness of stable base loci of adjoint linear systems with and without Mori Theory

Sébastien Boucksom, Amaël Broustet+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、klt対 $(X, \Delta)$ における随伴除算子 $K_X + \Delta$ の安定基底局所有い、最小モデルプログラムと Takayama の拡張技法を用いて、非有理被覆性（uniruledness）を確立する。$(X, \Delta)$ が klt であるとき、随伴除算子 $K_X + \Delta$ の非ネフ的・制限的・拡張基底局所の既約成分がすべて有理被覆であることを証明し、滑らかな多様体およびネフな正則除算子の既存結果を拡張する。

ABSTRACT

We explain how to deduce from recent results in the Minimal Model Program a general uniruledness theorem for base loci of adjoint divisors. We also show how to recover special cases by extending a technique introduced by Takayama.

研究の動機と目的

• klt 対 $(X, \Delta)$ における随伴除算子 $K_X + \Delta$ の基底局所の有理被覆性を最小モデルプログラムを用いて確立すること。
• $-K_X$ または $L - K_X$ がネフである場合に、Takayama の手法を一般化して基底局所の有理被覆性を証明すること。
• 随伴線形系の文脈において、非ネフ的・制限的・拡張基底局所の関係を明確にすること。
• ビッグおよび擬効率的随伴除算子に適用可能な、有理被覆性結果の一般枠組みを提供すること。

提案手法

• klt 対 $(X, \Delta)$ における基底局所の構造を分析するために最小モデルプログラム（MMP）を用いる。
• 安定基底局所 $\mathbb{B}(D)$ を $\mathbb{R}$-線形同値な有効除算子の台の共通部分として定義する。
• 拡張基底局所 $\mathbb{B}_+(D)$ および制限基底局所 $\mathbb{B}_-(D)$ を用いて線形系列の漸近的挙動を研究する。
• 対数プレイカノニカル形式の Takayama の拡張定理を適用し、特殊な場合における有理被覆性を導出する。
• ディオファントス近似を用いて、基底局所閾値の有理近似を構成し、還元的議論を行う。
• $\mathbb{Q}$-線形同値における分解技法を用いて、補助的除算子の正則性またはネフ性の確認に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 klt 対 $(X, \Delta)$ に対して、安定基底局所 $\mathbb{B}(K_X + \Delta)$ の既約成分がいつ有理被覆になるか。
• RQ2 $X$ が滑らかでないか $-K_X$ が消えることを仮定しない場合に、Takayama の手法を一般化して基底局所の有理被覆性を証明できるか。
• RQ3 随伴除算子に対して、非ネフ的局所 $\mathop{\rm NNef}(D)$、$\mathbb{B}_-(D)$、$\mathbb{B}_+(D)$ の関係は何か。
• RQ4 $(X, \Delta)$ が klt ではなく、対数正則的（log-canonical）な特異性を持つ場合、基底局所の有理被覆性は保たれるか。
• RQ5 ビッグでない随伴除算子に対しても、有理被覆性の結果を拡張できるか。

主な発見

• $(X, \Delta)$ が klt であるとき、非ネフ的局所 $\mathop{\rm NNef}(K_X + \Delta)$ のすべての既約成分は有理被覆である。
• ビッグな随伴除算子 $K_X + \Delta$ に対して、$\mathbb{B}_+(K_X + \Delta)$ のすべての既約成分は有理被覆である。
• $X$ が滑らかで、$-K_X$ または $L - K_X$ がネフである場合、$L$ が擬効率的であれば、$\mathbb{B}_-(L)$ のすべての成分は有理被覆である。
• $L$ がビッグで、$-K_X$ または $L - K_X$ がネフである場合、$\mathbb{B}(L)$ および $\mathbb{B}_+(L)$ のすべての成分は有理被覆である。
• klt 対では $\mathop{\rm NNef}(K_X + \Delta) = \mathbb{B}_-(K_X + \Delta)$ が成り立ち、両方の局所の成分は有理被覆である。
• 例 6.4 における反例により、一般に対数正則的対では結果が成り立たないことが示されている。