[論文レビュー] Unit Disk Cover Problem

Rashmisnata Acharyya, Manjanna Basappa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、半径を縮小した設定下で、離散的単位円盤被覆（DUDC）問題に対して改善された (9+ε)-要因近似アルゴリズムを提示し、長方形領域被覆（RRC）問題に対しては 2.25-要因近似を達成した。本手法は、線分離可能 DUDC（LSDUDC）部分問題に対する PTAS を活用し、先行研究よりも良好な近似比と実行時間を達成する。

ABSTRACT

Given a set ${\cal D}$ of unit disks in the Euclidean plane, we consider (i) the {\it discrete unit disk cover} (DUDC) problem and (ii) the {\it rectangular region cover} (RRC) problem. In the DUDC problem, for a given set ${\cal P}$ of points the objective is to select minimum cardinality subset ${\cal D}^* \subseteq {\cal D}$ such that each point in ${\cal P}$ is covered by at least one disk in ${\cal D}^*$. On the other hand, in the RRC problem the objective is to select minimum cardinality subset ${\cal D}^{**} \subseteq {\cal D}$ such that each point of a given rectangular region ${\cal R}$ is covered by a disk in ${\cal D}^{**}$. For the DUDC problem, we propose an $(9+ε)$-factor ($0 < ε\leq 6$) approximation algorithm. The previous best known approximation factor was 15 \cite{FL12}. For the RRC problem, we propose (i) an $(9 + ε)$-factor ($0 < ε\leq 6$) approximation algorithm, (ii) an 2.25-factor approximation algorithm in reduce radius setup, improving previous 4-factor approximation result in the same setup \cite{FKKLS07}. The solution of DUDC problem is based on a PTAS for the subproblem LSDUDC, where all the points in ${\cal P}$ are on one side of a line and covered by the disks centered on the other side of that line.

研究の動機と目的

• DUDC 問題の近似要因を、以前の最高の 15-要因結果を超えて改善すること。
• 性能保証が保証された効率的な近似アルゴリズムを、長方形領域被覆（RRC）問題に開発すること。
• DUDC 問題の主要な構成要素である、線分離可能 DUDC（LSDUDC）部分問題に対する PTAS を設計すること。
• 特に半径縮小設定において、RRC 近似アルゴリズムの実行時間を従来手法よりも短縮すること。
• 半径縮小設定下で、RRC 問題に対するよりタイトな近似要因 2.25 を達成すること。

提案手法

• 線分離可能 DUDC（LSDUDC）問題に対して PTAS を提案し、すべての点が直線の一方側に、円盤の中心が他方の側にある場合を想定する。
• グリッドベースのシフト戦略を用いて長方形領域を小さな部分領域に分割し、有界な候補円盤集合上で動的計画法を適用可能にする。
• 境界付近のグリッド線または頂点上に中心を持つ円盤のみを選択することで、被覆を保証しつつサイズを制限する、縮小候補円盤集合 ${\cal D}_{RS}$ を構築する。
• $O(1/\nu^2)$ で有界な縮小候補集合 ${\cal D}_{RS}$ に対してブルートフォース探索を実行し、$4 \times 4$ の部分領域に対する最適被覆を計算する。
• Hochbaum と Maass のシフト戦略を応用して、$4 \times 4$ 解をより大きな長方形に拡張し、半径縮小設定下で 2.25-要因近似を達成する。
• LSDUDC の PTAS を円盤選択メカニズムと組み合わせ、一般 DUDC 問題に対して $(9+\epsilon)$-要因近似を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fraser と López-Ortiz の 15-要因結果を超えて、DUDC 問題の近似要因を改善できるか？
• RQ2 LSDUDC 部分問題に対する PTAS は、一般 DUDC 問題のより良い近似アルゴリズムの設計に利用可能か？
• RQ3 半径縮小設定下で、RRC 問題の最良達成可能な近似要因は何か？ また、それを効率的に計算できるか？
• RQ4 特に半径縮小モデルにおいて、RRC 近似の実行時間を従来のアルゴリズムよりも短縮できるか？
• RQ5 シフト戦略は、RRC 問題に対してどのように効果的に適用可能か？ 低実行時間複雑度を達成する定数要因近似を得るために。

主な発見

• 本稿は、DUDC 問題に対して $(9+\epsilon)$-要因近似を達成し、以前の最高の 15-要因を上回った。
• 提案された DUDC アルゴリズムは、Fraser と López-Ortiz の 15-要因アルゴリズムと同等の実行時間であり、$\epsilon = 3$（12-要因近似）の場合に実用的である。
• RRC 問題に対しては、$(9+\epsilon)$-要因近似アルゴリズムを提示し、時間計算量は $O(\max(m^8, m^{4(1+3/\epsilon)}))$ である。
• 半径縮小設定下では、RRC 問題が 2.25-要因近似で解かれており、以前の 4-要因結果を改善した。
• 半径縮小設定下で、本稿の RRC アルゴリズムの実行時間は、Funke らの 4-要因アルゴリズムよりも、半径縮小パラメータ $\delta = \nu / \sqrt{2}$ が比較的小さな値の場合に低い。
• 候補円盤集合 ${\cal D}_{RS}$ のサイズは $O(1/\nu^2 + 1/\nu)$ で有界であり、小さな部分領域における効率的なブルートフォース探索を可能にする。