[論文レビュー] Unit Vectors, Morita Equivalence and Endomorphisms

Michael Skeide|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2004

Advanced Operator Algebra Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対応理論における2つの根本的問題を解決する。1つ目は、ヒルベルト加群上の自己同型的作用素代数の単位的自己準同型を構成し、その多重度対応を任意の全または強く全対応にすること。2つ目は、そのような対応をヒルベルト空間上に非退化で忠実な表現として得ること。主な貢献は、$W^*$-対応において全性の下で、$C^*$-対応において忠実性の下で、単位ベクトルとモリタ同値を核となる道具として用いる完全な解決法であり、それらは積系や$E_0$-半群への応用を伴う。

ABSTRACT

We solve two problems in the theory of correspondences that have important implications in the theory of product systems. The first problem is the question whether every correspondence is the correspondence associated (by the representation theory) with a unital endomorphism of the algebra of all adjointable operators on a Hilbert module. The second problem is the question whether every correspondence allows for a nondegenerate faithful representation on a Hilbert space. We also resolve an extension problem for representations of correspondences and we provide new efficient proofs of several well-known statements in the theory of representations of W*-algebras.

研究の動機と目的

• 問題1を解決：$C^*$-または$W^*$-代数$\mathcal{B}$上の全または強く全対応$E$が与えられたとき、$\mathscr{B}^a(F)$上の単位的厳密（または正規）自己準同型$\vartheta$を構成し、$E$がその多重度対応$F_\vartheta$となるようにすること。
• 問題2を解決：$\mathcal{B}$上の忠実対応$E$が与えられたとき、ヒルベルト空間上に非退化で忠実な（正規）表現を見つけること。
• 問題1の全性および問題2の忠実性という条件が、それぞれの問題が解けるために必要かつ十分であることを確立すること。
• $W^*$-の場合に、問題1と問題2がフォン・ノイマン対応の直交補空間構成によって双対的であることを示すこと。
• 発展した手法の力を示すために、既知の$W^*$-代数表現理論の結果について、新たな初等的証明を与えること。

提案手法

• ヒルベルト空間および$W^*$-加群における単位ベクトルの使用により、表現を構成し、モリタ同値を確立すること。
• $W^*$-対応および$W^*$-加群におけるモリタ同値の応用により、表現と自己準同型を関連させること。
• $F \bar{\odot}^s E \cong F$を満たすフォン・ノイマン$\mathcal{B}$-加群$F$の構成。これにより、$\mathscr{B}^a(F)$上の単位的自己準同型$\vartheta$が得られ、その多重度が$E$となる。
• 最小イデアル$M_n$への分解を通じた$\mathcal{B}$-加群の構造の明示的分析により、$F$を$\mathfrak{H}_n \otimes \mathbb{C}_n$成分に分解すること。
• $\mathcal{B}'$上の左シフト$\mathscr{S}$を用いて、$E$の直交補空間を記述し、$F^\prime$上での$E'$の表現を構成すること。
• $G^\infty$と$E \odot G$のユニタリ同値性の確立により、$F^\prime \bar{\odot}^s E^\prime \cong F^\prime$を確認し、自己準同型構造を裏付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の全または強く全$W^*$-対応$E$（$C^*$-または$W^*$-代数$\mathcal{B}$上）は、あるヒルベルト$\mathcal{B}$-加群$F$に対する$\mathscr{B}^a(F)$上の単位的自己準同型の多重度対応として実現可能か？
• RQ2 非退化な左作用をもつ意味で忠実な対応$E$は、ヒルベルト空間上に非退化で忠実な（正規）表現をもつのか？
• RQ3 問題1の全性および問題2の忠実性という条件が、それぞれの自己準同型および表現の存在にとって必要かつ十分であるか？
• RQ4 $W^*$-の場合に、問題1と問題2はどのように関係しているか？この双対性は、フォン・ノイマン対応の直交補空間構成によって表現可能か？
• RQ5 問題1と問題2を解くために用いられた手法は、離散的積系を構成し、連続時間$E_0$-半群への結果の拡張に応用可能か？

主な発見

• 本稿は、強く全$W^*$-対応および単位的$C^*$-代数上の全$C^*$-対応について、問題1を完全に解決し、このような対応が$\mathscr{B}^a(F)$上の単位的自己準同型の多重度対応として生じることを示している。
• $W^*$-対応の場合、問題2の解決は正規表現によって達成され、忠実性の仮定は、そのような表現の存在にとって必要かつ十分であることが示された。
• $F \bar{\odot}^s E \cong F$を満たすフォン・ノイマン$\mathcal{B}$-加群$F$の構成により、$\mathscr{B}^a(F)$上の単位的自己準同型$\vartheta$が得られ、$F_\vartheta \cong E$となる。これは、$\mathfrak{H}_n$上のシフトに類似した作用によって明示的に実現される。
• 同型$F \bar{\odot}^s E \cong F$によって誘導される自己準同型$\vartheta$は、$(a_1, a_2, \ldots) \mapsto (a_1, a_1, a_2, \ldots)$として作用し、$\mathscr{B}^a(F)$上の片側シフトの単位化に対応する。
• $E$の直交補空間は$E' = M_1 \oplus {}_{\text{\scriptsize$\mathscr{S}$}}\mathcal{B}'$であることが示され、$F^\prime$上での$E'$の表現は$\bigoplus_{n\in\mathbb{N}} \mathfrak{H}$上の成分ごとの作用として実現された。
• $G^\infty$上での$E^\infty$の表現が$G^\infty$とユニタリ同値であることが示され、$F^\prime \bar{\odot}^s E^\prime \cong F^\prime$が確認され、したがって$\vartheta^\prime$が$\mathbf{1}_1 \otimes \mathscr{B}(\mathfrak{H})$上の作用の二重化として実現された。