[論文レビュー] Unitarity of Singh-Hagen model in $D$ dimensions

E. L. Mendonça, R. Schimidt Bittencourt|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$D$次元における完全対称なランク3テンソル場のための完全なスピン射影演算子の集合を提供し、 Singh-Hagenモデルのプロパゲーターを導出し、質量付きおよび質量なしの場合のユニタリティと正定値性を確認する。解析により、理論はゴースト状態を含まず、単一のスピン3粒子のみを記述することが確認され、ハミルトニアンの制約解析とスペクトル分解を通じて、次元に依存しない物理的整合性が確立される。

ABSTRACT

The particle content of the Singh-Hagen model ($SH$) in $D$ dimensions is revisited. We suggest a complete set of spin-projection operators acting on totally symmetric rank-3 fields. We give a general expression for the propagator and determine the coefficients of the $SH$ model confirming previous results of the literature. Adding totally symmetric source terms we provide an unitarity analysis in $D$ dimensions.

研究の動機と目的

• 完全対称なランク3テンソル場のための$D$次元におけるスピン射影演算子の完全な基底を構成すること。
• これらの射影子を用いて Singh-Hagen モデルのラグランジアンを再表現し、一般の$D$におけるプロパゲーターを導出すること。
• 外部源を伴う遷移振幅の留数の虚部の符号を分析することで、モデルのユニタリティを検証すること。
• 第一級制約を用いた正準ハミルトニアンの正定値性と物理自由度の数え上げの確認により、質量なしの場合のモデルの正定値性を確認すること。
• 理論がゴースト状態や物理的でないモードを含まず、唯一の物理的スピン3粒子を記述することを示すこと。

提案手法

• 著者らは、ランク3対称テンソルに作用する6つの正規直交で冪等なスピン射影演算子 $P^{(s)}_{ij}$ の集合を定義し、任意の$D$次元に一般化した既知の構成を拡張する。
• 射影子は、横方向射影子 $\theta_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} - \partial_\mu \partial_\nu / \Box$ と縦方向射影子 $\omega_{\mu\nu} = \partial_\mu \partial_\nu / \Box$ を用い、対称化された組み合わせによって構成される。
• これらの射影子を用いてラグランジアンを双一次形に分解し、スピン3、スピン2、スピン1、スピン0の各セクターからの寄与を特定する。
• ユニタリティは、理論を外部源と結合させ、遷移振幅の留数の虚部を計算することでテストされ、物理状態に対して正の虚部が得られることで確認される。
• 質量なしの場合、$D$次元における正準ハミルトニアンと制約が導出され、制約が第一級であることが示され、物理自由度の数が正しく保証される。
• 制約を強いつまりの等式として用いて、縮約ハミルトニアンが構成され、理論が唯一のスピン3粒子を記述し、正定値エネルギースペクトルを持つことが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全対称なランク3テンソル場のための$D$次元におけるスピン射影演算子の完全な集合は何か？ また、それらは場を不変ローレンツ表現にどのように分解するか？
• RQ2 $D$次元における Singh-Hagen モデルは、ゴースト状態などの物理的でない自由度を含まず、唯一の物理的スピン3粒子を記述するか？
• RQ3 源を伴う遷移振幅の留数の虚部の符号によって示されるユニタリティは、モデルの性質として成立するか？
• RQ4 質量なしの場合、ハミルトニアン構造と制約解析によって、モデルがユニタリで正定値であることが確認されるか？
• RQ5 ラグランジアンの係数が粒子内容に与える影響は何か？ それらは場の再定義によって消去可能か？

主な発見

• ランク3対称テンソルのための$D$次元における完全で正規直交な6つのスピン射影演算子の基底が構成され、$D=3+1$ での既存の結果を一般化する。
• 一般双一次ラグランジアン分解を用いて Singh-Hagen モデルのプロパゲーターが導出され、スペクトルに唯一のスピン3粒子が存在することが確認される。
• モデルのラグランジアンに現れる係数 $a$ と $t$ は、場の再定義により消去可能であることが判明し、モデルの物理的内容がこれらのパラメータに依存しないことが確認される。
• ユニタリティは、遷移振幅の留数の虚部が正であることを示すことで確認され、物理的伝搬モードが存在することが示される。
• 質量なしの場合、正準ハミルトニアンが導出され、第一級制約による縮約の後、正定値であることが示され、ゴースト状態の不在が確認される。
• 縮約ハミルトニアンはスピン射影演算子のみを用いて表現され、理論が正確に一つのスピン3粒子と適切な物理自由度数を記述することを証明する。