[論文レビュー] Unitarity plus causality implies localizability

Pablo Arrighi, Vincent Nesme+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2007

Quantum-Dot Cellular Automata被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、因果性（信号速度の上限）を満たすグラフ構造の量子系における任意のユニタリな時間発展演像が、最近接相互作用に限った量子回路として局所的に実装可能であることを証明している。主な結果は、ユニタリティと因果性が併存する場合、局所化可能性が導かれる一般表現定理であり、公理的定義と構成的定義の両方の量子セルオートマトン（QCA）の枠組みを橋渡しするものである。

ABSTRACT

We consider a graph with a single quantum system at each node. The entire compound system evolves in discrete time steps by iterating a global evolution $U$. We require that this global evolution $U$ be unitary, in accordance with quantum theory, and that this global evolution $U$ be causal, in accordance with special relativity. By causal we mean that information can only ever be transmitted at a bounded speed, the speed bound being quite naturally that of one edge of the underlying graph per iteration of $U$. We show that under these conditions the operator $U$ can be implemented locally; i.e. it can be put into the form of a quantum circuit made up with more elementary operators -- each acting solely upon neighbouring nodes. We take quantum cellular automata as an example application of this representation theorem: this analysis bridges the gap between the axiomatic and the constructive approaches to defining QCA. KEYWORDS: Quantum cellular automata, Unitary causal operators, Quantum walks, Quantum computation, Axiomatic quantum field theory, Algebraic quantum field theory, Discrete space-time.

研究の動機と目的

• 量子グラフ上のユニタリ因果的作用素に対する一般表現定理を確立すること。
• 量子セルオートマトン（QCA）の公理的定義と、構成的・回路ベースの実装との間の溝を埋めること。
• 因果性を満たすグローバルなユニタリ時間発展演像が、局所的量子操作に分解可能であることを示すこと。
• 従来の1次元QCAに関する結果を、一般のn次元設定に拡張すること。
• QCAの公理的定義と操作的定義の等価性に対する厳密な基礎を提供すること

提案手法

• 各ノードにヒルベルト空間を割り当てたグラフとして量子系をモデル化し、量子ラベル付きグラフ（QLG）を定義する。
• 全ヒルベルト空間上で作用するグローバルなユニタリ時間発展演像 $ U $ を定義し、ユニタリ性と因果性を要請する。
• 因果性を、時刻 $ t' $ におけるノードの状態が、時刻 $ t $ におけるそのノードの近隣ノードの状態にのみ依存し、1ステップで1エッジ分の信号伝播が限界であるという条件として形式化する。
• スペクトル理論とユニタリ作用素の構造を用いて、$ U $ が各ノードおよびその近隣に作用する局所ユニタリの積に分解可能であることを示す。
• 分解 $ U = (igotimes D^ op)(igotimes K_x)(igotimes E) $ を構成する。ここで $ D $, $ E $, および $ K_x $ は各ノードおよびその近傍に局所的な演算子である。
• 結果を量子セルオートマトンに適用し、公理的QCA定義が回路ベースの実装を意味することを示す

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果性を満たす量子グラフ上のユニタリ時間発展演像は、局所的量子操作のみで実装可能か？
• RQ2 n次元量子セルオートマトンの公理的定義は、構成的・回路ベースの実装を意味するか？
• RQ3 ユニタリ因果的作用素を局所的成分に分解する一般表現定理は存在するか？
• RQ4 高次元におけるQCAの公理的アプローチと構成的アプローチの関係は何か？
• RQ5 『因果性は局所化可能性を意味する』という原理は、ユニタリ的かつ離散的モデルを超えて拡張可能か？

主な発見

• 因果性を満たす量子グラフ上の任意のユニタリ時間発展演像は、各ノードおよびその近隣に作用する局所ユニタリ演算子の積に分解可能である。
• グローバルなユニタリ作用素 $ U $ は、$ (igotimes D^ op)(igotimes K_x)(igotimes E) $ の形に表現可能であり、ここで $ D $, $ E $, および $ K_x $ はノードおよびその近傍に局所的である。
• ユニタリ因果的作用素の逆演算子もまたユニタリかつ因果的であり、時間発展演像の構造的性質を保存する。
• 本結果は、1次元QCAに関する先行研究を一般化し、シューマッハァーとヴェルナーの結果を任意次元に拡張する。
• シューマッハァーとヴェルナーの定義に従う公理的QCAの定義は、ペレズとチョンの定義に従う構成的・ブロック構造QCAの定義と、補助自由度を除いて等価である。
• 本定理により、物理的原理に基づくグローバルなユニタリ時間発展演像の厳密な操作的記述が可能となり、実用的なシミュレーションと解析が可能になる。