[論文レビュー] Unitary Brownian motions are linearizable

Boris Tsirelson|ArXiv.org|Jun 19, 1998

Quantum Information and Cryptography参考文献 28被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、無限次元ユニタリ群 U(H) 内の任意のユニタリ・ブラウン運動が線形化可能であることを確立している。つまり、連続的テンソル積構造を介して、可算個の独立した1次元ブラウン運動と完全に相関した連続過程として表現可能である。主な結果は、このような運動が分離可能な F 空間（非局所凸）におけるガウス過程から生じることであり、その生成子は連続的量子測定と関数解析的道具を用いて、期待値の半群とヒルベルト＝シュミットノルムのトレースから一意に定まる。

ABSTRACT

Brownian motions in the infinite-dimensional group of all unitary operators are studied under strong continuity assumption rather than norm continuity. Every such motion can be described in terms of a countable collection of independent one-dimensional Brownian motions. The proof involves continuous tensor products and continuous quantum measurements. A by-product: a Brownian motion in a separable F-space (not locally convex) is a Gaussian process.

研究の動機と目的

• U(H) 内のユニタリ・ブラウン運動が、可算個の独立した1次元ブラウン運動と完全に相関する線形化可能性（連続的テンソル積構造を介して）を有するかどうかを特定すること。
• 無限次元群におけるブラウン運動の記述的定義（定常独立増分）と構成的定義（生成子に基づく）が同値であるかどうかという基礎的問題に取り組むこと。
• 連続的テンソル積と量子確率過程を用いて、Lie 群に限らない非 Lie 群（例：U(H)）への線形化理論を拡張すること。
• SU(d) 内のブラウン運動の生成子が、期待値の半群とヒルベルト＝シュミットトレースから一意に定まることを示すこと。
• 非零の連続線形汎関数を持たない非局所凸 F 空間（例：0<p<1 の L_p）におけるブラウン運動が、ガウス過程であることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、連続的テンソル積による確率空間の枠組みを一般化し、Feldman と Tsirelson-Vershik の枠組みを拡張した線形化可能性の基準を導入する。
• ユニタリ・ブラウン運動を、U(H) のリー代数に値をとるエルミート行列値過程 A(t) を用いて X(t) = exp(iA(t)) とモデル化する。
• ヒルベルト＝シュミット内積とトレースを用いて、A(t) の無限小的特徴を抽出する。特に t→0 のときの E[A(t)] と E[A²(t)] を分析する。
• ユニタリ・ブラウン運動に関連する量子確率過程の局所的有限性を確立し、量子測定理論を用いて線形化可能性を示す。
• 証明は、ヒルベルト＝シュミット作用素上に作用する半群 (T_t) が A(t) の一階および二階モーメントを決定することに依拠する。
• トレースなし部分 A₀(t) とスカラー部分 λ(t)·1_H に分離することで、(x_t) と (T_t) からそれぞれの無限小的特徴を独立に特定可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(H) 内の任意のユニタリ・ブラウン運動は、連続的テンソル積構造を介して、可算個の独立した1次元ブラウン運動と完全に相関する線形化が可能か？
• RQ2 ユニタリ・ブラウン運動の生成子は、期待値の半群 (x_t) とヒルベルト＝シュミットトレース半群 (T_t) によって一意に定まるか？
• RQ3 非局所凸 F 空間（例：0<p<1 の L_p）において連続線形汎関数が存在しないにもかかわらず、ブラウン運動がガウス的でないか？
• RQ4 連続的量子測定とテンソル積を用いて、Lie 群に限らない無限次元群におけるブラウン運動の構成的定義を拡張可能か？
• RQ5 U(H) 内のブラウン運動の線形化性は、U(H) への連続的単射準同型をもつ群（例：(0,1) 上の測度保存変換群）に対しても継承可能か？

主な発見

• U(H) 内の任意のユニタリ・ブラウン運動は線形化可能であり、その標本経路と可算個の独立した1次元ブラウン運動との間には完全な相関が存在する。
• SU(d) 内のブラウン運動の無限小生成子は、ヒルベルト＝シュミット作用素上に作用する半群 (T_t) と期待値半群 (x_t) によって一意に定まる。
• エルミート過程 A(t) の一階および二階モーメント（特に E[A(t)] と E[A²(t)]）は (x_t) と (T_t) によって一意に定まり、トレースなし部分 A₀(t) とスカラー部分 λ(t)·1_H はそれぞれ独立に特定可能である。
• U(H) 内の過程 X(t) = exp(iA(t)) は、H が局所凸でないにもかかわらず、A(t) の一階および二階モーメントによって有限次元分布が決定される意味でガウス的である。
• 分離可能な F 空間（例：0<p<1 の L_p）におけるブラウン運動は、非零の連続線形汎関数が存在しないにもかかわらずガウス過程である。
• U(H) の線形化性は、U(H) への連続的単射準同型をもつ任意の群（例：(0,1) 上の測度保存変換群）に対しても線形化性を継承する。