[論文レビュー] Unitary designs from statistical mechanics in random quantum circuits

Nicholas Hunter-Jones|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 51被引用数 61

ひとこと要約

本論文は局所的なランダム量子回路のフレームポテンシャルを格子の分割関数へ写像し、2次モーメントの厳密解を計算し、ランダム回路が深さO(nk)で近似的なユニタリk-designを形成することを主張する（改良と予想を伴う）。

ABSTRACT

Random quantum circuits are proficient information scramblers and efficient generators of randomness, rapidly approximating moments of the unitary group. We study the convergence of local random quantum circuits to unitary $k$-designs. Employing a statistical mechanical mapping, we give an exact expression of the distance to forming an approximate design as a lattice partition function. In the statistical mechanics model, the approach to randomness has a simple interpretation in terms of domain walls extending through the circuit. We analytically compute the second moment, showing that random circuits acting on $n$ qudits form approximate 2-designs in $O(n)$ depth, as is known. Furthermore, we argue that random circuits form approximate unitary $k$-designs in $O(nk)$ depth and are thus essentially optimal in both $n$ and $k$. We can show this in the limit of large local dimension, but more generally rely on a conjecture about the dominance of certain domain wall configurations.

研究の動機と目的

• モーメント解析によって局所的なランダム量子回路がどのようにしてユニタリk-designへ収束するかを理解する。
• フレームポテンシャルを分割関数へ正確に格子次元マッピングする。
• n, k および局所次元 q に関して、2-designおよび一般のk-designを形成する深さのスケーリングを決定する。

提案手法

• ランダム量子回路のk-番目フレームポテンシャルを、triangular/hexagonal格子上のS_kスピン系の分割関数にマップする。
• Haar積分とWeingarten計算を用いて有効な頂点重みとドメイン壁の解釈を導出する。
• 二次フレームポテンシャルを厳密に計算し、非ゼロの組み合わせを格子モデルのドメイン壁として解釈する。
• 2-designの深さは t2 = C(2n log q + log n + log(1/epsilon)) とスケールすることを示し、計算可能な定数 C を持つ。
• 一般のkについて、局所次元が大きい極限で設計深さ t_k = O(nk) となると主張し、有限の q では nk + k log k + log(1/epsilon) の界を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム量子回路が近似的な2-designを形成するのに必要な深さはどれほどで、系サイズnおよび局所次元qとどうスケールするか？
• RQ2 フレームポテンシャルを格子分割関数としてどのように表現できるか、そしてこの写像でドメイン壁は何を表すか？
• RQ3 n, k, q に関する近似的なユニタリk-designを形成するための深さのスケーリングはどうなるか？
• RQ4 高次モーメント（k>2）の構成は設計形成にどの程度影響し、どの予想の下で一番目のドメイン壁寄与が全体の挙動を上界付けできるか？
• RQ5 ランダム量子回路は、nとkに対して線形な下界に関して設計深さの点で本質的に最適か？

主な発見

• RQCsのk-番目フレームポテンシャルは、S_kスピン系の分割関数として正確に書くことができ、時間周期境界条件を持つ。
• k=2の場合、非ゼロの構成は恒等とスワップ置換の領域を分けるドメイン壁に対応し、2-designの深さを正確に計算できる。
• 二設計の深さは t2 ≥ C(2n log q + log n + log(1/ε)) が成長する。可算定数C = (log((q^2+1)/(2q)))^{-1}；特に q=2 のとき t2 ≈ 6.2 n で、q→∞ のときは 2n に収束する。
• 一般のkについて、先行寄与はドメイン壁構成の単純なセクターから生じ、局所次元が大きい極限で t_k = O(nk) を与える。
• 有限のqで単純セクターが多ドメイン壁項を支配するという予想の下、ランダム回路は深さ nk + k log k + log(1/ε) で ε-近似のk-designを形成する。
• 設計深さの下界はnとkに対して線形であり、ランダム量子回路はユニタリk-designの本質的に最適な実装であることを示唆している。