[論文レビュー] Unitary equivalence classes of split-step quantum walks

Akihiro Narimatsu, Hiromichi Ohno+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特定のランクおよびサポート条件を満たす一般化された量子ウォークのクラスを導入することで、分割ステップ量子ウォーク（SSQW）のユニタリ同値類を確立する。SuzukiのSSQWが実数パラメータを持つ標準形とユニタリ同値であることを証明し、分類を2つの実数値関数 $ p_x, a_x \in \mathbb{R} $ に還元する。ユニタリ同値性は、これらの関数が同一であることに限り成立する。

ABSTRACT

This study investigates the unitary equivalence of split-step quantum walks (SSQW). We consider a new class of quantum walks which includes all SSQWs. We show the explicit form of quantum walks in this class, and clarify their unitary equivalence classes. Unitary equivalence classes of Suzuki's SSQW are also given.

研究の動機と目的

• 分割ステップ量子ウォーク（SSQW）の既知のすべての変種、例えばKitagawaおよびSuzukiの定式化を含む一般化されたクラスを定義すること。
• この一般化クラスのユニタリ同値類を明確にし、複雑なパラメータ空間を標準的代表元に還元することを可能にすること。
• 2つのSSQWがユニタリ同値であるための正確な条件を特定すること、特にSuzukiの定式化に焦点を当てる。
• キラル対称性がSSQWにおいて果たす役割と、ユニタリ同値構造との関係を調査すること。

提案手法

• 局所的伝播構造を保証するため、$ U\mathcal{H}_x \subset \mathcal{H}_{x-1} \oplus \mathcal{H}_x \oplus \mathcal{H}_{x+1} $ および $ \text{rank}(P_{x\pm1} U P_x) \leq 1 $ を満たす、$ \mathcal{H} = \ell^2(\mathbb{Z}) \oplus \ell^2(\mathbb{Z}) $ 上のユニタリ作用素 $ U $ を定義する。
• 隣接するサイトのベクトルと正規直交基底を用いて、ディラック記法で量子ウォークを $ U = \sum_x |\xi_1^x\rangle\langle\zeta_1^x| + |\xi_2^x\rangle\langle\zeta_2^x| $ と表現する。
• 複素位相 $ e^{i\theta_x}, e^{i\kappa_x} $ と実数の振幅 $ p_x, r_x \in [0,1] $ を用いた標準形 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ を導入し、振幅がゼロの際の位相の規約を定義する。
• ユニタリ変換を用いて余分な位相パラメータ $ \theta_x, \kappa_x $ を除去し、実数の $ p_x, r_x \in \mathbb{R} $ および $ \theta_x, \kappa_x \in [0,2\pi) $ のみが本質的であることを示し、各サイトで1つの位相を除去可能であることを示す。
• ユニタリ同値性に関する定理を適用し、2つのウォークが同値であるのは、その $ p_x, r_x $ 関数が同一である場合に限り、という条件を証明する。
• SuzukiのSSQWに特化し、$ p_x, a_x \in \mathbb{R} $、$ q_x, b_x \in \mathbb{C} $ とし、$ q_x, b_x $ の複素位相をゲージ変換で消去できることを示し、$ U_{p,a} $ に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的伝播およびランク制約を満たす一般化された分割ステップ量子ウォークのクラスについて、ユニタリ同値類の完全な集合は何か？
• RQ2 SuzukiのSSQWのパラメータ空間は、ユニタリ同値性の下でどのように簡略化できるか。特に、コインおよびシフト作用素における複素位相の扱いについて。
• RQ3 2つの分割ステップ量子ウォークがユニタリ同値であるための条件は何か。この同値性は、実数値関数によって完全に特徴付けられるか？
• RQ4 標準形 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ はすべての可能なSSQWをカバーしているか。また、この分類内においてキラル対称性を特定できるか？
• RQ5 逆に、標準形にキラル対称性を持つウォークが、必ずしもSuzuki型SSQWであるとは限らないのか？

主な発見

• サポートおよびランク条件を満たす一般化された量子ウォーククラスは、$ p_x, r_x \in [0,1] $ および $ \theta_x, \kappa_x \in [0,2\pi) $ をパラメータとする標準形 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ で表現可能であり、各サイトで1つの位相パラメータを除去可能である。
• SuzukiのSSQWは、実数パラメータのみを含む標準形 $ U_{p,a} $ とユニタリ同値である。これは、コインおよびシフト作用素における複素位相をユニタリ変換で除去できることを意味する。
• 2つのウォーク $ U_{p,a} $ と $ U_{p',a'} $ がユニタリ同値であるのは、すべての $ x \in \mathbb{Z} $ に対して $ p_x = p'_x $ かつ $ a_x = a'_x $ である場合に限り成立し、完全な分類が確立される。
• ウォークのユニタリ同値類は、実数値関数 $ p_x $ および $ a_x $ によって完全に決定され、同値類内に残存する位相自由度は存在しない。
• ウォーク $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ がキラル対称性を持つのは、それがSuzuki型SSQWである場合に限り成立するが、逆は未解決の問題のままである。
• 標準形 $ U_{p,r,\theta,\kappa} $ は最小パラメータ化を提供する：各サイトで4つの実数パラメータを有し、ゲージ固定により2つの実数パラメータに還元可能である。