[論文レビュー] Unitary evolution and uniqueness of the Fock quantization in flat cosmologies with compact spatial sections

Laura Castelló Gomar, Jerónimo Cortez+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平坦な宇宙論的時空で時間に依存する質量を持つスカラー場のフォック量子化の一意性を、空間等長変換の不変性とユニタリな量子力学的ダイナミクスを要請することによって確立する。特に、空間的閉じた断面（三つ組トーラス）を持つ平坦な宇宙論的時空において、この二つの条件が、一意に canonical field pair とフォック表現を選択することを示し、宇宙論的量子場理論における長年の曖昧性を解消する。

ABSTRACT

We study the Fock quantization of scalar fields with a time dependent mass in cosmological scenarios with flat compact spatial sections. This framework describes physically interesting situations like, e.g., cosmological perturbations in flat Friedmann-Robertson-Walker spacetimes, generally including a suitable scaling of them by a background function. We prove that the requirements of vacuum invariance under the spatial isometries and of a unitary quantum dynamics select (a) a unique canonical pair of field variables among all those related by time dependent canonical transformations which scale the field configurations, and (b) a unique Fock representation for the canonical commutation relations of this pair of variables. Though the proof is generalizable to other compact spatial topologies in three or less dimensions, we focus on the case of the three-torus owing to its relevance in cosmology, paying a especial attention to the role played by the spatial isometries in the determination of the representation.

研究の動機と目的

• 時間に依存する質量を持つスカラー場の宇宙論的時空におけるフォック量子化の曖昧性を解消すること。
• 時間並進不変性などの標準的対称性が宇宙膨張によって破れる状況において、一意にフォック表現を選択する基準を特定すること。
• 空間等長変換不変性とユニタリな進化が、同時に場変数の曖昧性とフォック表現の曖昧性を排除することを示すこと。
• 平坦なFRW時空における宇宙論的摂動や有効場理論に適用可能な、堅牢で一意な量子枠組みを確立すること。
• 選択された量子化が、質量のあるスカラー場や宇宙論的摂動を含むさまざまな物理系において物理的に整合的であることを検証すること。

提案手法

• 平坦な時空で空間的トーラス構造を持つ時空上における時間に依存する質量を持つスカラー場のダイナミクスを、クライン＝ゴルドン方程式として形式化する。
• 時間に依存する正準変換を用いて、等価な場変数のペアを生成し、このような変換でパrameter化された場記述の族を導入する。
• 三つ組トーラスの等長変換（トーラス幾何における並進や回転）の下で真空状態が不変であるという要請を課す。
• 場演算子のハイゼンベルク進化が量子理論においてユニタリに実装可能であることを要請し、確率論的整合性を保証する。
• 空間等長変換不変性とユニタリダイナミクスの相乗作用を用いて、許容される複素構造を制限し、これによりフォック表現を固定する。
• 両条件を満たす複素構造が唯一つ存在することを証明し、ユニタリ同値を除いて一意なフォック表現が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する質量を持つスカラー場の、空間的閉じた断面を持つ平坦な宇宙論的時空におけるフォック量子化を、一意に選択することは可能か？
• RQ2 空間等長変換とユニタリダイナミクスは、場変数とフォック表現の選択をどの程度制限するか？
• RQ3 時間並進不変性が欠如する状況下で、空間対称性不変性とユニタリ進化の組み合わせが、真空状態と場の量子化を一意に決定するか？
• RQ4 時間に依存する質量が、これらの基準の下でフォック表現の存在と一意性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 この基準は、FRW時空における宇宙論的摂動や有効場理論といったさまざまな物理系に一貫して適用可能か？

主な発見

• 三つ組トーラスの空間等長変換の不変性という要請が、時間に依存する正準変換で関連付けられるすべての場変数ペアの中から、特定の正準変数ペアを一意に選択する。
• ユニタリな量子ダイナミクスという要請が、選択された場変数の正準可換関係に対して、一意に一つのフォック表現を選び出す。
• 得られたフォック量子化は、質量のない場に対して標準的表現とユニタリ同値であるが、これは質量のある時間に依存する系に対しても成立する。
• 一意性の結果は、やや弱い条件の下で成立する：時間に依存する質量の二階微分が、コンパクトな時間区間上で可積分であること。
• この基準は、非無限小の時間領域に対しても適用可能であり、宇宙論的応用に対して堅牢である。
• 選択された量子化は、スカラーおよびテンソルの宇宙論的摂動を含むさまざまな物理系において一貫しており、ゲージ不変形式における以前に提案された量子化とユニタリ同値である。