[論文レビュー] Unitary evolution, canonical variables and vacuum choice for general quadratic Hamiltonians in spatially homogeneous and isotropic space-times

Sandro D. P. Vitenti|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、空間的に一様かつ等方的な時空における自由スカラー場が、特定の正準変数の選択によりユニタリな時間発展を実現するための条件を確立する。時間に依存する線形正準変換を分析し、作用角変数の漸近挙動を用いることで、ユニタリな時間発展を保証する一意な正準変数の集合が導かれる。これは断熱真空条件を一般化し、瞬間的ハミルトニアンの対角化と場のスメアリング（スムージング）と関連付ける。

ABSTRACT

Quantization of arbitrary free scalar fields in spatially homogeneous and isotropic space-times is considered. The quantum representation allowing a unitary evolution for the fields is taken as a requirement for the theory. Studying the group of linear canonical transformations, we show the relations between unitary evolution and choice of canonical variables. From these relations we obtain the conditions on the Hamiltonian such that there are canonical variables for which the field has unitary evolution. We then compute the linear transformation leading to these variables, also proving that they are unique. We obtain these results by developing the asymptotic analysis of the fields using the action angle variables, which proves to be a generalization of the usual Wentzel-Kramers-Brillouin approximation. These tools allow us to re-frame the adiabatic vacuum condition in a extensible format by using the action angle variables to relate these vacuum choices to those where the particle number density does not depend on angle (fast) variables. Finally, we develop a larger set of canonical variables relating the adiabatic vacuum conditions with the smearing of the quantum fields. This set of canonical variables also connects the adiabatic vacuum conditions with the instantaneous Hamiltonian diagonalization vacuum choice.

研究の動機と目的

• 空間的に一様かつ等方的な時空において、自由スカラー場のユニタリな時間発展が存在するための、一般の二次ハミルトニアンに必要な条件を特定すること。
• このようなハミルトニアンに対してユニタリな時間発展を実現する一意な正準変数の集合を同定すること。
• 作用角変数の漸近挙動を用いて断熱真空条件を一般化し、高速変数に依存しない粒子数の独立性を説明すること。
• 断熱真空の選択と、瞬間的ハミルトニアンの対角化真空および場のスメアリング特性との関係を、正準変数の選択によって結びつけること。

提案手法

• ユニタリな時間発展と正準変数の選択との関係を明らかにするために、時間に依存する線形正準変換（LCT）を分析する。
• 時間に依存する系におけるWentzel-Kramers-Brillouin（WKB）近似の一般化として、作用角変数を用いた漸近的解析を適用する。
• 部分積分を用いて位相および振幅補正の積分近似を導出し、1次までの非振動的項を保持する。
• 周波数νと背景の時間発展を用いて、摂動展開における振動的・非振動的寄与を分類する。
• ハミルトニアン発展演算から非振動的項を排除することで、ユニタリな時間発展を保証する正準変数への変換を構築する。
• 得られた真空の選択が作用角変数の挙動を通じて断熱真空と関連することを示し、瞬間的ハミルトニアンの対角化と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に一様かつ等方的な時空における自由スカラー場のユニタリな時間発展が存在するための、ハミルトニアンに課される条件は何か？
• RQ2 このような系に対してユニタリな時間発展を保証する一意な正準変数の集合は何か？
• RQ3 作用角変数を用いて断熱真空条件をどのように一般化できるか。特に、粒子数密度が高速（角度）変数に依存しないようにするには？
• RQ4 正準変数の選択を通じて、断熱真空、場のスメアリング、瞬間的ハミルトニアンの対角化はどのように関連しているか？
• RQ5 摂動展開における非振動的項が、ユニタリな時間発展を実現する正しい正準変数の決定に果たす役割は何か？

主な発見

• 空間的に一様かつ等方的な背景における自由スカラー場の時間発展がユニタリに実装可能となる一意な正準変数の集合が存在する。
• ユニタリな時間発展の条件は、位相および振幅補正の1次摂動展開における非振動的項の不在と同値である。
• 作用角変数を用いた一般化により、断熱真空条件が拡張され、粒子数密度が高速（角度）変数に依存しないことが示された。
• 漸近的手法により導かれた正準変数は、瞬間的ハミルトニアンの対角化真空に対応し、真空の選択の間の直接的な関係を確立した。
• これらの正準変数への変換により、ハミルトニアン発展演算がユニタリとなることが保証され、ν⁻¹の各階層で順次計算する体系的な手法が得られた。
• δφ補正における非振動的項（例：−∫( ̇ξ² / 2ν ) dt）が1次精度において重要であり、ユニタリな時間発展を達成するためには保持する必要があることが特定された。