[論文レビュー] Unitary k-designs from random number-conserving quantum circuits

Sumner N. Hearth, Michael O. Flynn+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2023

Mathematical Approximation and Integration被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ランダムな数保存量子回路が、数保存ユニタリ群上でのユニタリ k-デザインを生成することを確立し、収束深さが $d$ 次元空間において $\tau \gtrsim kL^{d+2}$ のスケーリングを示す。$k$-重複した統計力学モデルを用いて、自発的に破れた $U(1)$ 対称性に由来するギャップレス・ゴールドストーンモードが収束の遅さを制御することを示し、$k_c = O(L^d)$ まで有限モーメントがハール測度と区別できないことを証明する。

ABSTRACT

Local random circuits scramble efficiently and accordingly have a range of applications in quantum information and quantum dynamics. With a global $U(1)$ charge however, the scrambling ability is reduced; for example, such random circuits do not generate the entire group of number-conserving unitaries. We establish two results using the statistical mechanics of $k$-fold replicated circuits. First, we show that finite moments cannot distinguish the ensemble that local random circuits generate from the Haar ensemble on the entire group of number-conserving unitaries. Specifically, the circuits form a $k_c$-design with $k_c = O(L^d)$ for a system in $d$ spatial dimensions with linear dimension $L$. Second, for $k < k_c$, we derive bounds on the depth $τ$ required for the circuit to converge to an approximate $k$-design. The depth is lower bounded by diffusion $k L^2 \ln(L) \lesssim τ$. In contrast, without number conservation $τ\sim ext{poly}(k) L$. The convergence of the circuit ensemble is controlled by the low-energy properties of a frustration-free quantum statistical model which spontaneously breaks $k$ $U(1)$ symmetries. We conjecture that the associated Goldstone modes set the spectral gap for arbitrary spatial and qudit dimensions, leading to an upper bound $τ\lesssim k L^{d+2}$.

研究の動機と目的

• ランダムな数保存量子回路が数保存ユニタリ群上での $k$-デザインに収束する深さを特定すること。
• $U(1)$ 保存則と拡散的電荷輸送が、ランダム回路の近似的ユニタリデザインへの収束速度に与える影響を理解すること。
• 重複回路モデルにおける $k$-重複 $U(1)$ 対称性の自発的破れに起因する低エネルギー励起状態、特にギャップレス・ゴールドストーンモードの役割を分析すること。
• 変分法および統計力学的手法を用いて、$k$-デザインの収束深さ $\tau$ の厳密な下界を導出すること。
• 回路集合の有限モーメントが、$k_c = O(L^d)$ まで、全数保存ユニタリ群上のハール測度と区別できないことを確立すること。

提案手法

• 回路ユニタリのすべての $(k,k)$-次モーメントを符号化する $k$-階層重複回路モデルを構築し、$k$-番目のモーメント演算子 $\hat{T}_k^{U_t}$ を計算する。
• 系の $k$ 個のコピーと $k$ 個の共役 $*$-再現体を含む、スピン系のギャップレスな量子統計モデルに問題を写像する。各々は保存則をもつ $U(1)$ 電荷を有する。
• 重複ハミルトニアンの低エネルギー準位を特定し、$U(1)^k$ 対称性の自発的破れに起因するギャップレス・ゴールドストーンモードが存在することを示す。
• 回路集合とハール測度との重なりに関する変分境界を用いて、収束深さ $\tau$ の下界を導出する。
• ゴールドストーンモードの励起状態の総和を分配関数のアプローチで行い、高占有状態および高運動量モードが指数的に抑制されることを示す。
• 収束が $\varepsilon$-近似 $k$-デザインに達するための漸近的下界 $\tau \gtrsim kL^{d+2}$ を導出する。これは、最低エネルギーのゴールドストーンモードのみの寄与と整合的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな数保存量子回路が数保存ユニタリ群上での $\varepsilon$-近似 $k$-デザインを形成するための最小深さ $\tau$ は何か？
• RQ2 $U(1)$ 保存則は、制約なしのユニタリ回路と比較して、ランダム回路の収束速度にどのように影響を与えるか？
• RQ3 自発的破れによる $U(1)^k$ 対称性に起因するギャップレス・ゴールドストーンモードは、回路集合の収束ダイナミクスをどの程度支配するか？
• RQ4 $k < k_c$ の場合、回路集合の有限モーメントは、全数保存ユニタリ群上のハール測度と区別できないか？
• RQ5 収束への主な寄与は最低エネルギーのゴールドストーンモードから来るのか、それとも高運動量または高占有状態のモードが重要か？

主な発見

• 回路集合は $k_c = O(L^d)$ まで数保存ユニタリ群上での $k$-デザインを形成し、この $k$ まで有限モーメントがハール測度と区別できない。
• 収束深さは $\tau \gtrsim kL^{d+2}$ とスケーリングされ、数保存がない場合の $\tau \gtrsim kL^d$ より遅い。
• 収束の遅さは、$k$-重複モデルにおける自発的 $U(1)^k$ 対称性破れに起因するギャップレス・ゴールドストーンモードによって支配される。
• 収束速度への主な寄与は最低エネルギーのゴールドストーンモードから来る。高運動量および高占有状態のモードは指数的に抑制される。
• 導出された $\tau$ の下界は、最低エネルギーのモードのみが支配する漸近的挙動と一致し、その支配的役割を確認する。
• 結果は、重複統計モデルにおける変分境界および分配関数の手法を用いて得られ、任意の空間次元およびクイッド次元に対してタイトであると予想される。