[論文レビュー] Unitary Representations of Wavelet Groups and Encoding of Iterated Function Systems in Solenoids

Dorin Ervin Dutkay, Palle E. T. Jørgensen+1 more|ArXiv.org|Jun 11, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、拡大整数行列と数字集合を用いた幾何的数値表現体系を導入し、ℝᵈ 内の点をℒ 上の無限語によって符号化する。反復関数系（IFS）とソレノイドの間の対応を確立し、IFS 動的におけるサイクルから導かれる特定の格子の下で、IFS の吸引子がℝᵈ をタイリングすることを証明する。これにより、記号的空間およびソレノイド空間上にユニタリwavelet表現を実現できる。

ABSTRACT

For points in $d$ real dimensions, we introduce a geometry for general digit sets. We introduce a positional number system where the basis for our representation is a fixed $d$ by $d$ matrix over $\bz$. Our starting point is a given pair $(A, \mathcal D)$ with the matrix $A$ assumed expansive, and $\mathcal D$ a chosen complete digit set, i.e., in bijective correspondence with the points in $\bz^d/A^T\bz^d$. We give an explicit geometric representation and encoding with infinite words in letters from $\mathcal D$. We show that the attractor $X(A^T,\mathcal D)$ for an affine Iterated Function System (IFS) based on $(A,\mathcal D)$ is a set of fractions for our digital representation of points in $\br^d$. Moreover our positional "number representation" is spelled out in the form of an explicit IFS-encoding of a compact solenoid $\sa$ associated with the pair $(A,\mathcal D)$. The intricate part (Theorem ef{thenccycl}) is played by the cycles in $\bz^d$ for the initial $(A,\mathcal D)$-IFS. Using these cycles we are able to write down formulas for the two maps which do the encoding as well as the decoding in our positional $\mathcal D$-representation. We show how some wavelet representations can be realized on the solenoid, and on symbolic spaces.

研究の動機と目的

• 固定されたd×dの拡大整数行列Aと完全な数字集合ℒを用いて、ℝᵈ における位取り数値体系を構築すること。
• ℒ 上の無限語によるℝᵈ 内の点の記号的符号化を確立し、数字表現とソレノイド動的の間の関連を明示すること。
• IFS 動的におけるサイクル構造を用いて、IFS の吸引子X(Aᵀ, ℒ) が特定の格子による平行移動でℝᵈ をタイリングする条件を同定すること。
• 構築された符号化を用いて、ソレノイド空間および記号的空間上にユニタリwavelet表現を実現すること。
• 双対性および群論的技法を用いて、古典的な基数表現およびタイリング結果を、高次元的かつ非一様な状況へと一般化すること。

提案手法

• ℤᵈ[A⁻¹] のPontryagin双対として、ソレノイド𝒫_A を構成する。これは、A によるℤᵈ の帰納的極限である。
• Aᵀ による双対群上の作用によって誘導される、𝒫_A 上のIFS (σ_l)_{l∈ℒ} を定義する。ここで σ_l(x) = Aᵀx + l mod ℤᵈ[A⁻¹] である。
• ℝᵈ → 𝒫_A の双対準同型î を用いてℝᵈ をソレノイドに埋め込み、実数点の記号的符号化を可能にする。
• m_ℒ-サイクル（|m_ℒ(σ_l(x))| = 1 を満たす点）を、マスク関数 m_ℒ(ξ) = ∑_{d∈ℒ} e^{2πi⟨d,ξ⟩} の解析を通じて特定する。極値サイクルを同定する。
• すべての−C（m_ℒ-極値サイクルC）を含む最小の不変格子Λを定義し、双対格子Γ = Λ⁰を設定する。
• サイクル構造とHadarmard三重組 (A, ℒ, ℒ) のユニタリティを用いて、X(Aᵀ, ℒ) がΓ による平行移動でℝᵈ をタイリングすることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡大行列A に対して一般の数字集合ℒ をどのように用いて、ℝᵈ における位取り数値体系を構築できるか？
• RQ2 IFS 動的 (σ_l)_{l∈ℒ} におけるサイクルが、吸引子X(Aᵀ, ℒ) のタイリング格子を決定する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 吸引子X(Aᵀ, ℒ) が格子Γ による平行移動でℝᵈ をタイリングするための条件は何か？
• RQ4 IFS 符号化を用いて、ソレノイド𝒫_A および記号的空間上にどのようにユニタリwavelet表現を実現できるか？
• RQ5 マスク関数m_ℒ のスペクトルとタイリング格子Γ の間の正確な関係は何か？

主な発見

• 吸引子X(Aᵀ, ℒ) は、基底A におけるℒ-数字表現を持つℝᵈ 全体の点の集合である。これにより、IFS 吸引子と数値体系との直接的な関連が確立される。
• ソレノイド𝒫_A は、ℒ 上の無限語による明示的IFS符号化を許容する。埋め込みî: ℝᵈ → 𝒫_A が、数値表現を実現する。
• Hadarmard三重組 (A, ℒ, ℒ) の下で、吸引子X(Aᵀ, ℒ) がℝᵈ をタイリングするための必要十分条件は、双対格子Γ = Λ⁰ である。ここでΛ は、m_ℒ-極値サイクルC に対する−C によって生成される格子である。
• ツインドローン（A = [[1,1],[-1,1]]，ℒ = {0,1}×{0}）の例では、タイリング格子はℤ² であり、X(Aᵀ, ℒ) はℤ² による平行移動でℝ² をタイリングする。
• クラウドスリー（ℒ = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (2,1)}）の例では、タイリング格子は2ℤ×ℤ であり、吸引子はこの格子による平行移動でℝ² をタイリングする。
• クラウドナインの例では、タイリング格子はℤ×2ℤ であり、吸引子X(Aᵀ, ℒ) はこの格子による平行移動でℝ² をタイリングする。マスク関数のサイクル解析により、これが確認された。