[論文レビュー] Unitary transformation of the electronic Hamiltonian with an exact quadratic truncation of the Baker-Campbell-Hausdorff expansion

Robert A. Lang, Ilya G. Ryabinkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、反作用するパウリ積の自己同型線形結合（ILC）を用いたバーゲル＝キャンベル＝ハウスドルフ（BCH）展開の正確な二次項切り捨てにより、電子ハミルトニアンに対する新しいユニタリ変換を導入する。この手法はハミルトニアンのエルミート性を保ち、古典的に強い電子相関効果を組み込み、バリエーショナル量子固有値計算（VQE）応用において量子リソースの要請を顕著に低減する。リチウム水素化物（LiH）、水（H₂O）、窒素分子（N₂）において、従来手法に比べて高い効率性を示す。

ABSTRACT

Application of current and near-term quantum hardware to the electronic structure problem is highly limited by qubit counts, coherence times, and gate fidelities. To address these restrictions within the variational quantum eigensolver (VQE) framework, many recent contributions have suggested dressing the electronic Hamiltonian to include a part of electron correlation, leaving the rest to be accounted by VQE state preparation. We present a new dressing scheme that combines preservation of the Hamiltonian hermiticity and an exact quadratic truncation of the Baker-Campbell-Hausdorff expansion. The new transformation is constructed as the exponent of an involutory linear combination (ILC) of anti-commuting Pauli products. It incorporates important strong correlation effects in the dressed Hamiltonian and can be viewed as a classical preprocessing step alleviating the resource requirements of the subsequent VQE application. The assessment of the new computational scheme for electronic structure of the LiH, H$_2$O, and N$_2$ molecules shows significant increase in efficiency compared to conventional qubit coupled cluster dressings.

研究の動機と目的

• バリエーショナル量子固有値計算（VQE）における電子構造計算のための量子リソース要請を低減すること。
• ハミルトニアンのエルミート性を保ちつつ、強い電子相関効果を組み込むユニタリ変換を開発すること。
• 反作用するパウリ積の自己同型線形結合（ILC）を用いて、バーゲル＝キャンベル＝ハウスドルフ（BCH）展開の正確な二次項切り捨てを実現すること。
• VQEにおける深すぎる量子回路の必要性を軽減する、古典的に効率的な事前処理ステップを提供すること。
• リチウム水素化物（LiH）、水（H₂O）、窒素分子（N₂）のような小分子において、基底状態エネルギー推定の精度と効率性を向上させること。

提案手法

• 本手法は、反作用するパウリ積の自己同型線形結合（ILC）の指数関数としてユニタリ変換を構築し、BCH展開の正確な二次項切り捨てを保証する。
• ILCユニタリ変換は、スレーター決定式（参考計算基底状態）に作用させ、パラメータτの三角関数を用いた直交配置の重ね合わせを生成する。
• エネルギー最小化問題は、N+1個の直交状態からなる部分空間における標準的な直交固有値問題に再定式化され、ブロッホ角の三角関数多項式を用いて古典的に行列要素が計算される。
• 参考状態の緩和が生じた場合、非直交基底に対する一般化固有値系に変換するために、要素ごとの乗算による虚数位相補正が行列Mを用いて施される。
• 2段階の反復的MCSCFに類似した手続きが、ILC振幅とブロッホ角の最適化を交互に実行し、各反復で部分空間基底を更新して収束するまで繰り返す。
• 本手法により、基底状態固有ベクトルから最適パラメータτとαiを古典的に計算可能であり、τはarccos(c₁)により抽出され、αiはc_{j}/sin(τ)により抽出される。

Figure 1: a) PECs for the ground state CAS( $2$ e, $2$ o) LiH dissociation in different methods. QCC(5) ansatz uses the bare qubit Hamiltonian and 5 entanglers ( $\hat{x}_{1}\hat{y}_{3}$ , $\hat{x}_{1}\hat{y}_{3}\hat{x}_{4}$ , $\hat{x}_{1}\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}x_{4}$ , $\hat{x}_{1}\hat{y}_{2}\hat{x}

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型線形結合（ILC）を用いたユニタリ変換により、ハミルトニアンのエルミート性を保ちつつ、バーゲル＝キャンベル＝ハウスドルフ（BCH）展開の正確な二次項切り捨てを達成できるか？
• RQ2 反作用するパウリ積の自己同型線形結合（ILC）は、古典的に強い電子相関をハミルトニアンに効果的に埋め込めるか？
• RQ3 本変換により、分子電子構造計算におけるVQEの量子回路の深さとqubit要請が顕著に低減されるか？
• RQ4 エネルギーの精度と収束効率の観点から、本手法は従来のqubitカップルドクラスター装飾法と比較して優れているか？
• RQ5 緩和された参考状態に対しても、数値的安定性と精度を維持したまま、本手法を一般化できるか？

主な発見

• 提案されたQCC-ILC変換は、BCH展開の正確な二次項切り捨てを達成するとともに、ハミルトニアンのエルミート性を保つ。
• 本手法により、N+1個の直交状態からなる小さな部分空間における多項式スケーリング固有値問題を古典的に解くことで、最適ユニタリ変換を計算可能となる。
• LiH、H₂O、N₂において、本手法は従来のqubitカップルドクラスター装飾法に比べて、VQE応用において顕著な効率向上を示す。
• 最適パラメータτとαiは、基底状態固有ベクトルからτ = arccos(c₁)およびα_{j-1} = c_j / sin(τ)により抽出され、τはτ=0におけるエネルギー勾配が非ゼロであるため、ゼロでないことが保証される。
• 反復的MCSCFに類似した手続きにより、緩和された参考状態と最適化されたILC振幅に収束し、非直交基底状態は一般化固有値形式により取り扱われる。
• 本手法は、量子回路実行の前段階で強い相関効果を埋め込むことで、VQEにおける古典的効率的な事前処理ステップを提供し、量子リソース負荷を低減する。

Figure 2: a) PECs for the ground state of CAS( $4$ e, $4$ o) H 2 O along the symmetric bond stretch in different methods. QCC(5) employs the spin-penalized Hamiltonian and 5 entanglers ( $\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}\hat{x}_{5}\hat{x}_{6}$ , $\hat{x}_{2}\hat{y}_{3}\hat{x}_{4}\hat{x}_{5}$ , $\hat{x}_{1}\ha