[論文レビュー] Unitary Transformations in Quantum Field Theory and Bound States

A. V. Shebeko, M. I. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2001

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、相対論的量子場理論（RQFT）におけるユニタリ変換（UTs）の体系的応用を提示し、特にデュートリオンのような束縛状態の全ハミルトニアンの固有状態を近似する。'クロージング'変換およびオクーボのUTを用いることで、一次摂動論的理論において一貫性のある有効クーリングポテンシャルを構築し、束縛状態および質量の再正則化を共変的に取り扱うことが可能になる。Poincaré代数の構造は保存される。

ABSTRACT

Finding the eigenstates of the total Hamiltonian H or its diagonalization is the important problem of quantum physics. However, in relativistic quantum field theory (RQFT) its complete and exact solution is possible for a few simple models only. Unitary transformations (UT's) considered in this survey do not diagonalize H, but convert H into a form which enables us to find approximately some H eigenstates. During the last years there have appeared many papers devoted to physical applications of such UT's. Our aim is to present a systematic and self-sufficient exposition of the UT method. The two general kinds of UT's are pointed out, distinct variations of each kind being possible. We consider in detail the problem of finding the simplest H eigenstates for interacting mesons and nucleons using the so-called ``clothing'' UT and Okubo's UT. These UT's allow us to suggest definite approaches to the problem of two-particle (deuteron-like) bound states in RQFT. The approaches are shown to yield the same two-nucleon quasipotentials in the first nonvanishing approximation. We demonstrate how the particle mass renormalization can be fulfilled in the framework of the ``clothing'' procedure. Besides the UT of the Hamiltonian we discuss the accompanying UT of the Lorentz boost generators.

研究の動機と目的

• 全ハミルトニアンの固有状態をRQFTで体系的に近似するためのフレームワークの構築。
• 自由ハミルトニアン $ H_0 $ の固有状態でない物理的束縛状態（例えばデュートリオン）を記述する課題への対処。
• 基本的な場理論的ラグランジアンから有効二核子相互作用を導出する共変的かつ一貫性のある方法の提供。
• 粒子質量の再正則化とローレンツブースト生成子が、同一のUTフレームワーク内で一貫して変換可能であることを示すこと。
• 物理的真空状態、1粒子状態、および2体束縛状態を、全ハミルトニアン $ H $ の固有状態を用いて統一的に記述すること。

提案手法

• 本稿では、非物理的自由度を除去することを目的とした2つの主要なユニタリ変換クラス、すなわち'クロージング'変換およびオクーボの変換を用いる。
• ユニタリ変換をハミルトニアンおよびローレンツブースト生成子に適用し、物理的（クロージングされた）粒子状態のみに作用する形に変換する。
• 中間子-核子結合定数の摂動展開を用い、非ゼロとなる最初の次数で一貫性のある二核子クーリングポテンシャルが得られる。
• 変換は時間に依存する演算子 $ J_1(t) $ を通じて構築され、リッカティ型微分方程式から導かれる。その解は $ J_1(t) = \exp[-g X^\dagger(t)] \eta_1 $ として表される。
• この手続きにより、変換されたハミルトニアンおよびブースト生成子がPoincaré代数の構造を保ち、$ [H, \eta_1] = 0 $ かつ $ \eta_1 $ が物理部分空間に射影することを保証する。
• 仮想遷移を排除し、物理的散乱および束縛状態振幅を分離することで、有効相互作用の導出が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ変換を相対論的量子場理論に体系的に応用し、全ハミルトニアンの固有状態を近似する方法は何か？
• RQ2 非物理的自由度を除去し、束縛状態の一貫性のある記述を可能にする'クロージング'変換の役割は何か？
• RQ3 'クロージング'およびオクーボのユニタリ変換が、摂動論の最初の非ゼロ次数で同等の二核子クーリングポテンシャルをどのように得るか？
• RQ4 ユニタリ変換フレームワーク内で粒子質量の再正則化を一貫して行うことは可能か？
• RQ5 ローレンツブースト生成子をユニタリ変換することで、物理部分空間におけるPoincaré代数の閉じる性質をどのように維持できるか？

主な発見

• 'クロージング'およびオクーボのユニタリ変換は、摂動論の最初の非ゼロ次数で同一の二核子クーリングポテンシャルを生成し、その一貫性が裏付けられた。
• この手法により、ユニタリ変換手順を通じて粒子質量の再正則化が一貫して可能となり、自己エネルギー補正に起因する発散が除去された。
• 変換されたハミルトニアンおよびブースト生成子は物理部分空間にのみ作用し、$ \eta_1 $ が中間子を含まない状態に射影することにより、Poincaré代数の閉じる性質が保証された。
• 解 $ J_1(t) = \exp[-g X^\dagger(t)] \eta_1 $ はユニタリ変換のリッカティ型微分方程式を満たし、有効相互作用の摂動的構成を可能にする。
• このアプローチにより、Bethe-Salpeter振幅と $ H $ の物理的固有状態との直接的な関係が得られ、束縛状態波動関数の解釈が簡素化された。
• このフレームワークにより、RQFTにおける2体束縛状態問題が共変的に取り扱えるようになり、完全なBethe-Salpeter方程式の複雑さを回避できた。