[論文レビュー] Univariate Contraction and Multivariate Desingularization of Ore Ideals

Yi Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、主イデアル整域 $ R $ を係数とする $ R[x][\partial] $ におけるオーレイ理想の単変量縮約を、特異点を除去した作用素を用いて計算する新しいアルゴリズムを提案する。完全に特異点を除去した作用素の概念を導入し、グレブナー基底技術を用いて多変数D-有限系における見かけの特異点を検出し、除去する手法を提供する。これにより、整数列の証明やクレットエンターラー予想の特殊ケースの検証が可能になる。

ABSTRACT

Ore operators with polynomial coefficients form a common algebraic abstraction for representing D-finite functions. They form the Ore ring $K(x)[D_x]$, where $K$ is the constant field. Suppose $K$ is the quotient field of some principal ideal domain $R$. The ring $R[x][D_x]$ consists of elements in $K(x)[D_x]$ without "denominator". Given $L \in K(x)[D_x]$, it generates a left ideal $I$ in $K(x)[D_x]$. We call $I \cap R[x][D_x]$ the univariate contraction of $I$. When $L$ is a linear ordinary differential or difference operator, we design a contraction algorithm for $L$ by using desingularized operators as proposed by Chen, Jaroschek, Kauers and Singer. When $L$ is an ordinary differential operator and $R = K$, our algorithm is more elementary than known algorithms. In other cases, our results are new. We propose the notion of completely desingularized operators, study their properties, and design an algorithm for computing them. Completely desingularized operators have interesting applications such as certifying integer sequences and checking special cases of a conjecture of Krattenthaler. A D-finite system is a finite set of linear homogeneous partial differential equations in several variables, whose solution space is of finite dimension. For such systems, we give the notion of a singularity in terms of the polynomials appearing in them. We show that a point is a singularity of the system unless it admits a basis of power series solutions in which the starting monomials are as small as possible with respect to some term order. Then a singularity is apparent if the system admits a full basis of power series solutions, the starting terms of which are not as small as possible. We prove that apparent singularities in the multivariate case can be removed like in the univariate case by adding suitable additional solutions to the original system.

研究の動機と目的

• 線形常微分または差分作用素 $ \mathbb{K}(x)[\partial] $ で生成されるオーレイ理想 $ I $ に対して、$ I \cap R[x][\partial] $ の単変量縮約を計算するアルゴリズムの開発。
• 最小次数および最小内容を持つ完全に特異点を除去した作用素の定義と計算により、D-有限関数の代数的取り扱いを改善すること。
• 形式的べき級数解と項順序を用いて、多変数D-有限系における特異点および見かけの特異点を特徴づけること。
• 適切な解を追加することにより、多変数D-有限系における見かけの特異点をアルゴリズム的に検出し、除去する方法を提供すること。
• 単変量縮約技術を多変数オーレイ代数 $ R[\mathbf{x}][\boldsymbol{\partial}] $ に拡張する基盤を築くこと。収縮理想の生成元の一般上界に関する未解決問題を含む。

提案手法

• チェン、ジャロシュェク、コーガース、シンガーらが提案した特異点を除去した作用素を用い、$ R[x][\partial] $ における分母なし表現を可能にする。
• 主イデアル整域 $ R $ 上でのグレブナー基底の計算により、収縮理想を特定し、初期指数候補を分析する。
• グレブナー基底の各生成子のインデックスに基づき、単項式における項順序を用いて初期指数候補 $ S $ を定義する。
• 元の理想と、$ (s_1, \dots, s_n) \notin S $ に対して生成される $ \{x_i\partial_i - s_i\} $ の理想の交わりを用いて、新しいグレブナー基底 $ M $ を構成する。
• 得られたグレブナー基底 $ M $ のヘッド特徴（HC）を用いて、特異点が見かけのものかどうかを判定する：$ \operatorname{HC}(M) $ に非ゼロ定数が含まれる場合、その点は通常点である。
• 定理4.4.6の応用により特異点を分類：完全なべき級数解の基底が存在するが、その開始単項式が最小でない場合、その特異点は見かけの特異点である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形常微分または差分作用素に対して、$ R = \mathbb{K} $（定数体）の場合に、オーレイ理想 $ I \cap R[x][\partial] $ の単変量縮約を効率的に計算する方法は何か？
• RQ2 完全に特異点を除去した作用素の構造とアルゴリズム的計算は何か？また、それらはD-有限関数の表現をどのように改善するか？
• RQ3 形式的べき級数解と項順序を用いて、多変数D-有限系における特異点を代数的に特徴づける方法は何か？
• RQ4 多変数D-有限系における見かけの特異点を、どのようにアルゴリズム的に検出し、除去できるか？
• RQ5 多変数の場合における収縮理想の生成元の次数の一般上界は何か？また、それらはどのように計算できるか？

主な発見

• $ R = \mathbb{K} $ の場合、本稿の単変量縮約アルゴリズムは、既知の方法よりもより素朴なものであり、微分作用素および差分作用素の両方に対応する。
• 完全に特異点を除去した作用素が導入され、整数列の証明やクレットエンターラー予想の特殊ケースの検証に有効であることが示された。
• 与えられた項順序の下で、開始単項式が可能な限り小さいべき級数解の基底が存在しない場合、D-有限系の点は特異点である。
• このような基底が存在するが、開始単項式が最小でない場合、見かけの特異点が生じる。このような特異点は、適切な解を系に追加することにより除去可能である。
• 例4.4.14の系 $ G $ において、原点は見かけの特異点である。$ \operatorname{HC}(M) = \{-2 - x_1^2 - 2x_1x_2 - x_2^2\} $ であるため、$ M $ に対しては通常点であり、$ G $ は非最小の開始項を持つ。
• 例4.4.13の系 $ G $ において、原点は見かけの特異点ではない。$ \operatorname{HC}(M) $ に非定数多項式を含むため、特異点は本物のものである。