[論文レビュー] Universal Approximation Theorems for Dynamical Systems with Infinite-Time Horizon Guarantees

Abel Sagodi, Il Memming Park|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2026

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ひとこと要約

本論文は Neural ODEs が特定の多安定ダイナミカルシステムを無限時間スケールで一様近似できることを示し、ホイペリック固定点、ホイペリック極限周回の厳密周期一致による ε-δ 保証、及び離散化による通常同次性連続集合の近似、さらに時間的一般化境界を確立する。

ABSTRACT

Universal approximation theorems establish the expressive capacity of neural network architectures. For dynamical systems, existing results are limited to finite time horizons or systems with a globally stable equilibrium, leaving multistability and limit cycles unaddressed. We prove that Neural ODEs achieve $\varepsilon$-$δ$ closeness -- trajectories within error $\varepsilon$ except for initial conditions of measure $< δ$ -- over the \emph{infinite} time horizon $[0,\infty)$ for three target classes: (1) Morse-Smale systems (a structurally stable class) with hyperbolic fixed points, (2) Morse-Smale systems with hyperbolic limit cycles via exact period matching, and (3) systems with normally hyperbolic continuous attractors via discretization. We further establish a temporal generalization bound: $\varepsilon$-$δ$ closeness implies $L^p$ error $\leq \varepsilon^p + δ\cdot D^p$ for all $t \geq 0$, bridging topological guarantees to training metrics. These results provide the first universal approximation framework for multistable infinite-horizon dynamics.

研究の動機と目的

• Neural ODEs による多安定ダイナミカルシステムの無限時間での普遍近似を実証する。
• fading memory を超えて Morse–Smale 系および normally hyperbolic アトラクターに普遍近似を拡張する。
• トップロジー保証と訓練指標を結ぶ明示的 ε-δ フレームワークを提供する。

提案手法

• 無限ホライズン軌道近似に対する ε-δ 接近性を定義する。
• 境界 separatrix 近傍の基底誤差を崩さずに構造安定性(Palis–Smale)を用いて境界域を評価する。
• 局所的なベクトル場スケーリングによる正確な周期一致を適用し P-type 誤差を固定して極限周回を無限時間で近似可能にする。
• 離散的アトラクターで通常の同次性連続アトラクターを近似するタイル化戦略を採用する。
• ε-δ 接近性と時間平均の Lp 誤差を結ぶ時間的一般化境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hyperbolic fixed points を持つ Morse–Smale 系で [0, ∞) 上のターゲットダイナミクスに対して Neural ODEs は ε-δ 接近性を達成できるか。
• RQ2 Exact period matching によって Morse–Smale 系の hyperbolic limit cycles の ε-δ 接近性を達成できるか。
• RQ3 連続アトラクターを離散的タイル化で近似し D-type 誤差を制御しつつ無限時間で近似できるか。
• RQ4 ε-δ 軌道接近性と時間平均の Lp 誤差の無限時間における関係は何か。

主な発見

• Neural ODEs は hyperbolic fixed points を持つ Morse–Smale ターゲットに対して無限時間領域で ε-δ 接近できる。
• 局所的スケーリングによる正確な周期一致は P-type 誤差を排除し、極限周回の無限時間近似を可能にする。
• タイル化アプローチにより normally hyperbolic 连続アトラクターを離散タイルで近似し、D-type 誤差を有界に抑える。
• 時間的一般化境界により time-averaged の Lp 誤差は ε^p + δ·D^p により上界付けされ、トポロジーと訓練指標を結ぶ。
• これらの結果は多安定な無限時間ダイナミクスの最初の普遍近似フレームワークを構成する。