[論文レビュー] Universal Asymmetric Quantum Cloning Revisited

Anna-Lena K. Hashagen|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Quantum Information and Cryptography参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、凸解析における対称性および双対性定理を活用して、普遍的非対称 $1\to 2$ 量子クローン問題を再考し、達成可能な1クローンのフィデリティおよびその他の指標の集合を完全に特徴づける。最適クローン写像を導出し、クローン品質間のトレードオフを定量的に評価することで、フィデリティ、トレースノルム、ヒルベルト・シュミットノルム、作用素ノルム、ダイヤモンドノルムの各測度における到達可能な領域の解析的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

This paper revisits the universal asymmetric $1 o 2$ quantum cloning problem. We identify the symmetry properties of this optimisation problem, giving us access to the optimal quantum cloning map. Furthermore, we use the bipolar theorem, a famous method from convex analysis, to completely characterise the set of achievable single quantum clone qualities using the fidelity as our figure of merit; from this it is easier to give the optimal cloning map and to quantify the quality tradeoff in universal asymmetric quantum cloning. Additionally, it allows us to analytically specify the set of achievable single quantum clone qualities using a range of different figures of merit.

研究の動機と目的

• 対称性および凸解析を用いて、最適な普遍的非対称 $1\to 2$ 量子クローンチャネルを再導出すること。
• フィデリティ、トレースノルム、作用素ノルムを含む、さまざまな指標におけるすべての達成可能な1クローン品質の集合を完全に特徴づけること。
• 状態に依存しない方法で、2つの非対称クローンの品質間のトレードオフを定量化すること。
• 群表現法の代替として、双対性定理と凸解析における双対性を用いること。
• 異なる距離測度におけるクローンフィデリティの到達可能な領域を統一的に解析的に特徴づけるフレームワークを確立すること。

提案手法

• 本稿は、凸解析における双対性定理を応用し、普遍的非対称 $1\to 2$ クローン状況における達成可能なクローン品質の集合を特徴づける。
• 最適化問題の対称性を活用して、与えられた制約下で一意に定まる最適クローン写像を導出する。
• 一方向極分解を用いて、達成可能なクローン品質の集合を凸集合へ写像し、完全な特徴づけを可能にする。
• フィデリティおよびシュレーディンガーノルムを含む、$k \in \{F,1,2,\infty,\diamond\}$ の異なる指標 $k$ に対して、一般化された距離関数 $d^k(T_i, \text{id})$ を定義する。
• 最適クローンチャネルは、半定値計画問題の解として導出され、従来の結果と整合的であるが、対称性と双対性を用いて再導出される。
• 境界は関数 $g(x_1,x_2)$ を用いて明示的に表現され、許容可能なフィデリティのトレードオフを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍的 $1\to 2$ 量子クローンにおける2つの非対称クローンの達成可能な品質の完全な集合は何か？
• RQ2 対称性および凸双対性を用いて、最適クローン写像をどのように導出できるか？
• RQ3 フィデリティおよびシュレーディンガーノルムを含む、さまざまな指標における到達可能な領域の解析的形は何か？
• RQ4 クローン品質間のトレードオフは、距離測度の選択にどのように依存するか？
• RQ5 双対性定理を用いて、フィデリティを超える一般化を可能にする形で、最適クローンチャネルを再導出し、完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 最適な普遍的非対称 $1\to 2$ クローンチャネルは、その対称性および問題の制約によって一意に決定される。
• すべての達成可能な1クローン品質の集合は、凸集合として完全に特徴づけられ、境界は式 (6.5b) の関数 $g(x_1,x_2)$ で定義される。
• フィデリティ指標の場合、到達可能な領域は、原点、最大フィデリティ点、および $g(f^F(x_1^{(F)}), f^F(x_2^{(F)})) = 0$ を満たす集合の凸包として解析的に記述される。
• 本手法により、フィデリティ、トレースノルム、ヒルベルト・シュミットノルム、作用素ノルム、ダイヤモンドノルムの5つの異なる指標における到達可能な領域の明示的解析的表現が得られる。
• 双対性定理による特徴づけは、従来の群表現法とは対照的に、厳密で双対性に基づく代替手法を提供する。特にフィデリティの場合に顕著である。
• 本稿は、最適クローン写像が従来の結果と整合することを確認するが、凸解析に基づくより一般化されたフレームワークを用いて、新たな視点から導出する。