[論文レビュー] Universal Behavior in Dirac Spectra

J. J. M. Verbaarschot|ArXiv.org|Oct 14, 1997

Random Matrices and Applications参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、き裂性ランダム行列理論（chRMT）が、QCDディラック作用素のスペクトル揺動を普遍的に記述することを提案している。特に、零に近い虚数的エネルギー領域において、普遍性定理と格子QCDデータの一致を活用することで、微視的スペクトル密度およびバルク相関に関して、chRMTの予測と数値シミュレーションの間に完全な一致が確認され、QCDのき裂性対称性の破れとランダム行列集合との間に深い関係が確立された。

ABSTRACT

In these lectures we review recent results on universal fluctuations of QCD Dirac spectra and applications of Random Matrix Theory (RMT) to QCD. We review general properties of Dirac spectra and discuss the relation between chiral symmetry breaking and correlations of Dirac eigenvalues. In particular, we will focus on the microscopic spectral density density, i.e. the spectral density near zero virtuality on the scale of a typical level spacing. The relation with Leutwyler-Smilga sum-rules will be discussed. The success of applications of RMT to spectra of 'complex' systems leads us to the introduction of a chiral Random Matrix Theory (chRMT) with the global symmetries of the QCD partition function. Our central conjecture is that it decribes correlations of QCD Dirac spectra. We will review recent universality proofs supporting this conjecture. Lattice QCD results for the microscopic spectral density and for correlations in the bulk of the spectrum are shown to be in perfect agreement with chRMT. We close with a review of chRMT at nonzero chemical potential. Novel features of spectral universality in nonhermitean matrices will be discussed. As an illustration of mathematical methods used in RMT several important recent results will be derived in all details. We mention the derivation of the microscopic spectral density, the universality proof by Akemann, Damgaard, Magnea and Nishigaki, the spectral density of a chRMT at nonzero temperature and the Stephanov solution for chRMT at nonzero chemical potential.

研究の動機と目的

• ランダム行列理論を用いてQCDディラックスペクトルの普遍的記述を確立すること。
• 零に近い虚数的エネルギー領域におけるスペクトル相関を、QCDにおけるき裂性対称性の破れに関連付けること。
• chRMTの予測を格子QCDシミュレーションと照合して検証すること。
• 非ゼロの化学ポテンシャルおよび非エルミート系へとフレームワークを拡張すること。
• 厳密な数学的技法を用いて微視的スペクトル密度の普遍性を導出し、証明すること。

提案手法

• QCD分配関数の対称性と一致するき裂性ランダム行列理論（chRMT）を導入する。
• レプリカ法と直交多項式技法を用いて、微視的スペクトル密度を計算する。
• アケマンらの普遍性定理を適用し、スペクトル相関が特定の行列集合に依存しないことを証明する。
• ステファノフの解を用いて、非ゼロの化学ポテンシャルにおけるスペクトル密度を導出する。
• 解析的chRMT結果と格子QCDデータを、スペクトル密度およびバルク相関に関して比較する。
• 非エルミートchRMTを分析し、複素系におけるスペクトル普遍性を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 き裂性ランダム行列理論は、QCDディラック作用素の微視的スペクトル密度を普遍的に記述できるか？
• RQ2 零に近い虚数的エネルギー領域におけるスペクトル相関は、QCDにおけるき裂性対称性の破れとどのように関係するか？
• RQ3 格子QCDシミュレーションは、微視的スペクトル密度に関して、chRMTの予測をどの程度確認するか？
• RQ4 非ゼロの化学ポテンシャルにおけるディラックスペクトルの挙動は何か？また、chRMTはそれをどのように記述するか？
• RQ5 非エルミートランダム行列における普遍的スペクトル相関は、QCDにおけるものと整合的か？

主な発見

• chRMTから導かれた微視的スペクトル密度は、レーツワイラー＝スミルガの和則と完全に一致し、物理的妥当性が確認された。
• 格子QCDシミュレーションは、chRMTの予測と微視的スペクトル密度において完全に一致した。
• アケマン、ダムガード、マニエア、にしがきの普遍性定理により、スペクトル相関が集合内の特定の確率分布に依存しないことが証明された。
• ステファノフの解を用いて、非ゼロの化学ポテンシャルにおけるchRMTのスペクトル密度が明示的に導出され、有限密度における相転移が明らかになった。
• 非エルミートchRMTは普遍的スペクトル的特徴を示し、フレームワークのエルミート系への適用範囲を拡張した。
• 微視的スペクトル密度の導出は、完全に数学的に詳細に実施され、普遍性の予想に対する厳密な基礎が提供された。