[論文レビュー] Universal Bound on Sampling Bosons in Linear Optics

Man‐Hong Yung, Xun Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2016

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形光学的ネットワークにおけるボソンの遷移振幅の普遍的な上限を確立し、高精度でこれらの振幅を推定する多項式時間の確率的アルゴリズムの実現を可能にする。この上限は一般化されたGlynn推定器から導出され、アーロンソンとハンス（2012年）が提起した、効率的な永久行列近似のための未解決問題を解決するものであり、ボソンサンプリングの設定を超えて一般のフォック状態遷移へと拡張する。

ABSTRACT

In linear optics, photons are scattered in a network through passive optical elements including beamsplitters and phase shifters, leading to many intriguing applications in physics, such as Mach-Zehnder interferometry, Hong-Ou-Mandel effect, and tests of fundamental quantum mechanics. Here we present a general analytic expression governing the upper limit of the transition amplitudes in sampling bosons, through all realizable linear optics. Apart from boson sampling, this transition bound results in many other interesting applications, including behaviors of Bose-Einstein Condensates (BEC) in optical networks, counterparts of Hong-Ou-Mandel effects for multiple photons, and approximating permanents of matrices. Also, this general bound implies the existence of a polynomial-time randomized algorithm for estimating transition amplitudes of bosons, which represents a solution to an open problem raised by Aaronson and Hance in 2012.

研究の動機と目的

• 任意のパassing光学素子（ビームスプリッターや位相シフトャーを含む）に対して、任意の線形光学的ネットワーク内でのボソンの遷移振幅に対する一般化された解析的上限を導出すること。
• アーロンソンとハンス（2012年）が提起した、線形光学的遷移振幅を加法誤差 ±1/poly(n) で推定する多項式時間の確率的アルゴリズムの存在に関する未解決問題を解決すること。
• ボソンサンプリングの設定を超えて、一般のフォック状態遷移へと永久行列推定アルゴリズムの適用範囲を拡張すること。これには、多光子のホン＝オウ＝マーテン効果や、光学的ネットワーク内におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮のダイナミクスが含まれる。
• 線形光学における遷移振幅と行列の永久行列との間の理論的基盤を提供し、複素行列の永久行列に関する新たな境界を導出すること。
• 永久行列近似のためのGlynn推定器を一般化し、導出された境界の下で収束を示し、誤差が有界な状態で効率的なサンプリングを可能にすること。

提案手法

• ボソン演算子の多項式関数の真空→真空振幅を離散確率変数の和に写像する一般定理を用いて、フォック状態間の遷移振幅の絶対値に対する普遍的上限を導出する。
• 任意の複素行列の永久行列を推定する一般化されたGlynn推定器（mGenGly）を導入し、特殊な場合に元のGlynn推定器やアーロンソン＝ハンス推定器に還元されることを示す。
• 導出した上限を用いて、T = O(1/ε²) 個のサンプルで mGenGly 推定器からサンプリングを行うことで、遷移振幅の推定誤差が ±ε × min{v_s / v_t, v_t / v_s} で有界であることを示す。ここで v_s と v_t はフォック状態の占有数に依存する正規化因子である。
• チェビシェフの不等式を用いてサンプリング誤差を有界にし、多項式時間 O(m²/ε²) の実行時間で推定器が高確率で収束することを保証する。
• 遷移振幅 ⟨s|U|t⟩ と部分行列 U_{s,t} の永久行列との直接的な対応関係を確立し、線形光学的振幅サンプリングによる永久行列推定を可能にする。
• その形式的枠組みを用いて、多光子干渉や光学的ネットワーク内におけるBECダイナミクスの振幅を表現することで、境界が物理的状況に普遍的に適用可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の線形光学的ネットワーク内でのボソンの遷移振幅に対して、ビームスプリッターや位相シフトャーの具体的な配置に依存しない普遍的な上限を導出できるか？
• RQ2 導出した上限が、アーロンソンとハンス（2012年）が提起した、加法誤差 ±1/poly(n) で線形光学的遷移振幅を推定する多項式時間の確率的アルゴリズムの存在を可能にするか？
• RQ3 一般化されたGlynn推定器を用いて、多項式個のサンプルで任意の複素行列の永久行列を有界誤差で近似できるか？
• RQ4 この上限は、多光子のホン＝オウ＝マーテン効果や光学格子内におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮の挙動といった、基本的な量子光学的効果とどのように関係するか？
• RQ5 アーロンソンとハンスが示唆したように、非負行列の永久行列推定アルゴリズムを非確率化（de-randomization）するための境界を拡張できるか？

主な発見

• 遷移振幅の普遍的上限が |⟨s|U|t⟩| ≤ min{v_s / v_t, v_t / v_s} として導出され、ここで v_s と v_t はフォック状態の占有数に依存する正規化因子である。
• この上限により、加法誤差が ±ε × min{v_s / v_t, v_t / v_s} で有界な多項式時間の確率的アルゴリズムが可能となり、アーロンソンとハンス（2012年）の未解決問題が解決された。
• アルゴリズムには O(1/ε²) 個のサンプルが必要であり、各サンプルの計算に O(m²) 時間を要するため、合計実行時間は O(m²/ε²) となり、モード数 m に対して多項式時間である。
• 一般化されたGlynn推定器（mGenGly）が導入され、導出した上限の下で、任意の複素行列 W の永久行列を、誤差が ±ε × ||W||^m × v_s² × ∏(s_k^{s_k} t_k^{t_k})^{1/2} で有界に推定できることを示した。
• 本手法により、線形光学的遷移振幅と行列の永久行列との間の直接的な関係が確立され、形式的枠組みにおいて G(U,s,t) = Perm(U_{s,t}) が成り立つことが示された。
• 境界はボソンサンプリングを超えて、多光子干渉や光学的ネットワーク内におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮のダイナミクスにも適用可能であることが、式 (4) および式 (5) への応用によって示された。