[論文レビュー] Universal C*-algebraic quantum groups arising from algebraic quantum groups

Johan Kustermans|ArXiv.org|Apr 22, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、正の左不変汎関数を備えたマルチプライヤー Hopf*-代数を介して、代数的量子群から普遍的 C*-代数的量子群を構成する。この普遍的対象が、その還元型に対応するものと同様に豊かな構造的性質を持つことを確立し、左ハール測度の非忠実性を除き、Masa-da-Nakagami-Woronowicz枠組みのすべての公理を満たすことを示す。

ABSTRACT

In this paper, we construct a universal C*-algebraic quantum group out of an algebraic one. We show that this universal C*-algebraic quantum group has the same rich structure as its reduced companion. This universal C*-algebraic quantum group also satifies an upcoming definition of Masuda, Nakagami & Woronowicz except for the possible non-faithfulness of the left Haar weight.

研究の動機と目的

• 与えられた代数的量子群から、正の左不変汎関数を備えたマルチプライヤー Hopf*-代数を介して、普遍的 C*-代数的量子群を構成すること。
• 得られる普遍的 C*-量子群が、その還元型同伴と同様の構造的豊かさを引き継ぐことを示すこと。
• 普遍的対象が、左ハール測度の忠実性が保証されない可能性を除き、Masa-da-Nakagami-Woronowiczの公理枠組みをほぼ満たすことを検証すること。
• 普遍的および還元型 C*-量子群のユニタリコアプレゼンテーションの間の自然な全単射を確立すること。
• 双対代数的量子群から普遍的 C*-量子群を構成することで、双対理論を普遍的設定に拡張すること。

提案手法

• 正の左不変汎関数（ハール汎関数）を備えたマルチプライヤー Hopf*-代数の枠組みを、代数的出発点として用いる。
• C*-圏における普遍性を用いて、普遍的 C*-代数 $A_u$ と普遍的コ乗法 $\Delta_u$ を構成する。
• 作用素代数の技術、特に厳密位相、スライス写像、付随する作用素を用いて、コ乗法および測度汎関数を拡張する。
• GNS構成と関連する写像 $\iota \otimes \Lambda_\varphi$ を用いて、ヒルベルト加群上の稠密に定義された作用素を定義する。
• $\tilde{\cal N}_{\iota \otimes \varphi}$ および $\hat{\cal N}_{\iota \otimes \varphi}$ の集合を導入し、スライス写像 $\iota \otimes \varphi$ を付随する作用素へ拡張する。
• 普遍的コアプレゼンテーションを用いて、$A_u$ のユニタリコアプレゼンテーションと、双対普遍的 C*-代数 $\hat{A}_u$ 上の非退化 *-準同型の間の全単射対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的量子群から、正の左不変汎関数を備えたマルチプライヤー Hopf*-代数を介して、普遍的 C*-代数的量子群を体系的に構成できるか？
• RQ2 普遍的 C*-量子群は、Masa-da-Nakagami-Woronowiczが提唱した公理枠組みをどの程度満たすか？
• RQ3 普遍的および還元型 C*-量子群のユニタリコアプレゼンテーションの関係はいかなるものか？
• RQ4 代数的量子群の双対理論を、普遍的 C*-代数的設定に拡張できるか？
• RQ5 左ハール測度は、普遍的構成において果たす役割は何か、特にその忠実性に関しては？

主な発見

• マルチプライヤー Hopf*-代数に正の左不変汎関数を備えたことから、普遍的 C*-代数的量子群 $ (A_u, \Delta_u) $ が構成された。
• 普遍的対象は、左ハール測度の忠実性が保証されない可能性を除き、Masa-da-Nakagami-Woronowicz枠組みのすべての公理を満たす。
• 普遍的 C*-量子群 $A_u$ と還元型 C*-量子群 $A_r$ のユニタリコアプレゼンテーションの間には自然な全単射が存在する。
• 同様の全単射は、普遍的および還元型量子群間の bi-*$^*$-同型写像に対しても成り立つ。
• $A_u$ の普遍的コアプレゼンテーションにより、$A_u$ のユニタリコアプレゼンテーションと、双対普遍的 C*-代数 $\hat{A}_u$ 上の非退化 *-準同型の間の全単射対応が誘導される。
• 構成は、還元型 C*-量子群が持つ豊かな構造的性質を保ち、特に適切に定義された双対と双対理論の存在を含む。