[論文レビュー] Universal construction of topological theories in two dimensions

Mikhail Khovanov|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 44被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、cobordism圏とフォーム評価を用いた2次元トポロジカル理論の普遍的構成を提示する。これは標準的なTQFT公理を越えるものであり、体上の有理論を導出し、ハンケル行列と対称関数を用いて分類する。また、重なり合うフォームにおけるロバート＝ヴェーガーのフォーム評価が、セルゲエフ＝プラガツの公式とデイの行列式公式を特別な場合として回復することを示す。

ABSTRACT

We consider Blanchet, Habegger, Masbaum and Vogel's universal construction of topological theories in dimension two, using it to produce interesting theories that do not satisfy the usual two-dimensional TQFT axioms. Kronecker's characterization of rational functions allows us to classify theories over a field with finite-dimensional state spaces and introduce their extension to theories with the ground ring the product of rings of symmetric functions in N and M variables. We look at several examples of non-multiplicative theories and see Hankel matrices, Schur and supersymmetric Schur polynomials quickly emerge from these structures. The last section explains how an extension of the Robert-Wagner foam evaluation to overlapping foams gives the Sergeev-Pragacz formula for the supersymmetric Schur polynomials and the Day formula for the Toeplitz determinant of rational power series as special cases.

研究の動機と目的

• モノイダル構造の要件を緩和することで、標準的な公理を越えたトポロジカル量子場理論を一般化すること。
• 有限次元の状態空間を持つ体上の有理論的トポロジカル理論を、有理関数のクラーケンの特徴付けを用いて分類すること。
• NおよびM変数の対称関数環への理論の拡張により、新たな代数的構造を可能にすること。
• 重なり合うフォームにおけるフォーム評価が、対称関数論における既知の公式を回復できるかを示すこと。
• 一般化されたフォーム評価フレームワークを通じて、ロバート＝ヴェーガーのフォーム評価をセルドフ＝プラガーツおよびデイの公式に統合すること。

提案手法

• ブランシェー他による普遍的構成を用い、自由加群の核を法として商をとることで状態空間を定義する。
• 生成関数を用いて円の状態空間を定義し、ハンケル行列が双線形形式の構造を符号化することを示す。
• クラーケンの定理を適用して有理生成関数を分類し、体上の有限次元状態空間が得られることを示す。
• NおよびM変数の対称関数環の積上の半普遍的有理理論 α_{M,N} を導入し、異なる代数的構造を統合する。
• 2つのフォームを2つの円に沿って貼り合わせることで重なり合うフォームを構成し、面に変数を割り当て、色分け依存の評価を定義する。
• 交差する面からの寄与を計算することでフォーム評価を導出し、重なり領域に対して (δ_s - r_i) および (ρ_t - r_j) を得る。これにより有理関数および行列式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元におけるトポロジカル理論は、標準的なTQFTテンソル積公理を満たさない場合にどのように構成可能か？
• RQ2 有限次元の状態空間を持つ体上の有理論的トポロジカル理論の分類は何か？
• RQ3 ハンケル行列と対称関数は、このような理論の状態空間構造においてどのように自然に現れるか？
• RQ4 ロバート＝ヴェーガーのフォーム評価を重なり合うフォームに拡張し、対称関数論における既知の公式を回復できるか？
• RQ5 フォーム評価と有理ローレンツ級数のトーピツ行列式との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 普遍的構成により、モノイダル関手条件を緩和することで、標準TQFTを一般化する非乗法的トポロジカル理論が得られる。
• 体上の有理論はクラーケンの特徴付けにより分類され、状態空間は有限次元的であり、生成関数のハンケル行列によって決定される。
• 半普遍的理論 α_{M,N} は、NおよびM変数の対称関数環の積上の状態空間を持ち、異なる代数的構造を統合する。
• 特定の面色分けを施した重なり合うフォームの評価により、有理関数が得られ、その行列式は有理ローレンツ級数のトーピツ行列式に対するデイの公式を回復する。
• 同じフォーム評価フレームワークにより、超対称シュール多項式のセルドフ＝プラガーツの公式が特別な場合として回復される。
• フォーム評価における符号の選び方は、最終的な行列式式における項 (−1)^m と一致するように選ばれており、既知の公式と整合性を保っている。