[論文レビュー] Universal construction of unitary transformation of quantum computation with one- and two-body interactions

Xijia Miao|ArXiv.org|Mar 17, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の量子計算ユニタリ変換を有限個の1キュービットゲートと2キュービットの対角ゲート $ R_{kl}(\theta) = \exp(-i\theta I_{kz}I_{lz}) $ に一様かつ正確に分解する普遍的で一貫性のある手法を提示する。この手法は、有限次元の多重量子演算子空間の代数的構造を活用して分解を簡略化し、トラップドアイウムやNMRなどの量子系における1体および2体相互作用を用いた効率的な物理的実装を可能にする。

ABSTRACT

Any unitary transformation of quantum computational networks is explicitly decomposed, in an exact and unified form, into a sequence of a limited number of one-qubit quantum gates and the two-qubit diagonal gates that have diagonal unitary representation in usual computational basis. This decomposition may be simplified greatly with the help of the properties of the finite-dimensional multiple-quantum operator algebra spaces of a quantum system and the specific properties of a given quantum algorithm. As elementary building blocks of quantum computation, the two-qubit diagonal gates and one-qubit gates may be constructed physically with one- and two-body interactions in a two-state quantum system and hence could be conveniently realized experimentally. The present work will be helpful for implementing generally any N-qubit quantum computation in those feasible two-state quantum systems and determining conveniently the time evolution of these systems in course of quantum computation.

研究の動機と目的

• 任意の量子ユニタリ変換を基本的な量子ゲートに正確かつ普遍的に分解するための包括的で正確な手法の開発。
• 量子演算子空間の代数的構造とアルゴリズム固有の性質に注目することで、量子回路設計の簡素化。
• 1キュービットゲートと2キュービットの対角ゲートに限定して、1体および2体相互作用を用いて物理的に実現可能な量子アルゴリズムの実装を可能にする。
• デ coherent 損失に制限される量子系に適した、ゲート数を最小限に抑えた量子回路の構築のための体系的フレームワークの提供。
• 2キュービットの対角ゲートと1キュービットゲートが量子計算の普遍的セットを形成することを示し、高次元の相互作用を用いる場合と比較して物理的実装を簡素化する。

提案手法

• 任意のNキュービットユニタリ変換を、計算基底において対角である2キュービットの対角ゲート $ R_{kl}(\theta) = \exp(-i\theta I_{kz}I_{lz}) $ と1キュービットゲートの有限な順序に分解する。
• 有限次元の多重量子演算子代数空間の構造を活用して、分解プロセスを簡素化する。
• 量子アルゴリズムの有効ハミルトニアンを局所的相互作用の和として表現し、対応する時間発展演算子の直接構築を可能にする。
• 対角ユニタリ演算子（例：Deutsch-JozsaおよびGroverのアルゴリズムにおける $ U_f $）が $ \exp(-iH_f t) $ の形に書けることを利用する。ここで $ H_f $ は対角である。
• ハミルトニアンとリウヴィル演算子空間の対称性および代数的性質を活用して、複雑な量子回路を基本ゲートの順序に還元する。
• 3キュービットまたは2キュービットの普遍的ゲート（例：Toffoli、Fredkin、XOR）が、1キュービットゲートと2キュービットの対角ゲートの順序として表現可能であることを示し、自然な相互作用を用いた物理的実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の量子ユニタリ変換を、有限個の1キュービットゲートと2キュービットの対角ゲートに正確かつ普遍的に分解できるか？
• RQ2 量子演算子空間の代数的構造をどのように活用して、量子回路の分解を簡素化できるか？
• RQ3 2キュービットの対角ゲートは、実現可能な量子系における1体および2体相互作用のみを用いて物理的に実現可能か？
• RQ4 この分解フレームワークを用いて、与えられた量子アルゴリズムを実装するために必要な最小のゲート順序は何か？
• RQ5 量子アルゴリズムの有効ハミルトニアンは、そのゲート分解の構造と物理的実装可能性にどのように関係するか？

主な発見

• 量子計算ネットワーク内の任意のユニタリ変換は、有限個の1キュービットゲートと2キュービットの対角ゲート $ R_{kl}(\theta) = \exp(-i\theta I_{kz}I_{lz}) $ に正確かつ普遍的に分解可能である。
• 分解は、有限次元の多重量子演算子代数空間の構造と、量子アルゴリズムの有効ハミルトニアンの特定の性質を活用することで簡素化される。
• 2キュービットの対角ゲートは、NMRやトラップドアイウムなどの系における自然な1体および2体相互作用を用いて物理的に実現可能であり、基本的構築ブロックとして適している。
• この手法により、デ coherent 損失に制限される系においても、ゲート数を最小限に抑えた任意の量子回路の構築が可能になる。
• 局所的である場合、量子アルゴリズムの有効ハミルトニアンは、この分解方式を介して直接物理的に実現可能な量子回路を決定づける。
• Deutsch-JozsaやGroverのアルゴリズムのように、対角ユニタリ操作に依存する量子アルゴリズムは、このフレームワークを用いて自然かつ効率的に分解可能である。