[論文レビュー] Universal covering space of the noncommutative torus

Petr Ivankov|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、古典的被覆空間論にインspiredされた代数的手法を用いて、非可換トーラスの普遍被覆空間を構築する。C*-代数表現における反復平方根を介したユニタリ生成子の上昇により、非可換なℝ² → T²の類似を定義し、普遍被覆代数がC₀(ℝ²) ⊗ 𝒦と強くモラita同値であることを示している。

ABSTRACT

Gelfand - Naĭmark theorem supplies contravariant functor from a category of commutative $C^*-$ algebras to a category of locally compact Hausdorff spaces. Therefore any commutative $C^*-$ algebra is an alternative representation of a topological space. Similarly a category of (noncommutative) $C^*-$ algebras can be regarded as a category of generalized (noncommutative) locally compact Hausdorff spaces. Generalizations of topological invariants may be defined by algebraic methods. For example Serre Swan theorem states that complex topological $K$ - theory coincides with $K$ - theory of $C^*$ - algebras. However the algebraic topology have a rich set of invariants. Some invariants do not have noncommutative generalizations yet. This article contains a sample of noncommutative universal covering. General theory of noncommutative universal coverings is being developed by the author of this article. However this sample has independent interest, it is very easy to understand and does not require knowledge of Hopf-Galois extensions.

研究の動機と目的

• 非可換トーラスの普遍被覆空間の非可換類似を構築すること。
• ℝ → S¹ や ℝ² → T² のような古典的被覆空間構成を、C*-代数的手法を用いて非可換設定に拡張すること。
• 非可換トーラスの普遍被覆がC₀(ℝ²) ⊗ 𝒦と強くモラita同値であることを示すこと。
• ホープ・ガロア理論に依存しない、明確でアクセス可能な非可換普遍被覆の具体例を提供すること。

提案手法

• Gelfand-Naĭmark双対性を用いてC*-代数を一般化された位相的空間として解釈する。
• uₙ₊₁² = uₙ を満たすC*-代数内のユニタリ要素の列{uₙ}を構成し、反復平方根の逆極限に類似する構造を再現する。
• π*ᵤ(f)π*ᵥ(g)（f,g ∈ C₀(ℝ)）で生成される作用素のノルム完備化として、普遍代数を定義する。ここでπ*ᵤとπ*ᵥは、C(S¹)からB(H)への上昇表現である。
• 強いモラita同値性を保証するために、コンパクト作用素𝒦とテンソル積を取ることで安定化を施す。
• スペクトル論を用いて、φ(z)ⁿ = z を満たすボレル可測関数φを介してユニタリ要素を上昇させる。
• 安定化を介して、異なる上昇構成の間の同型を確立し、根の選び方に依存しない不変性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋に代数的C*-代数的手法を用いて、非可換トーラスの普遍被覆空間を定義できるか？
• RQ2 θが無理数であるとき、古典的被覆ℝ² → T²は非可換設定にどのように一般化されるか？
• RQ3 非可換トーラスの普遍被覆代数の強いモラita同値類は何か？
• RQ4 この構成は、局所コンパクトなスペクトル三重項または物理的意味を持つほぼ可換な領域をもたらすか？

主な発見

• 非可換トーラスの普遍被覆は、2つのユニタリ生成子に関連するC₀(ℝ)の上昇表現によって生成される代数のノルム完備化として構成される。
• 得られる代数は、反復平方根列の選び方に関わらず、C₀(ℝ²) ⊗ 𝒦と強くモラita同値である。
• 異なるユニタリ上昇列(xₙ)と(yₙ)は非同型なC*-代数をもたらすが、𝒦による安定化を施すと同型となる。
• スペクトル論とボレル可測関数計算を用いて、古典的ℝ → S¹およびℝ² → T²被覆の一般化が達成される。
• ホープ・ガロア拡大に依存せず、自己完結的で素朴なアプローチを提供する。
• θ → 0のとき、代数はほぼ可換な領域を示し、カルツァ・クライン理論などのモデルにおいて物理的関連性を示唆する。