[論文レビュー] Universal curvature identities and Euler Lagrange Formulas for Kaehler manifolds

Peter Gilkey, JeongHyeong Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、曲率の縮約から得られる特性不変量とケーラー形式の累乗を関連させることで、ケーラー多様体における普遍的な曲率恒等式とオイラー＝ラグランジュ方程式を確立する。曲率の不変多項式とケーラー形式の積として構成されたスカラー不変量のオイラー＝ラグランジュ方程式が、ケーラー設定における対称2次テンソル値の普遍的曲率恒等式と一致することを証明する。これは、制限写像と幾何的変分法を用いて、実設定の結果を複素構造に拡張したものである。

ABSTRACT

We relate certain universal curvature identities for Kaehler manifolds to the Euler-Lagrange equations of the scalar invariants which are defined by pairing characteristic forms with powers of the Kaehler form.

研究の動機と目的

• 実リーマン幾何学における普遍的曲率恒等式を、複素構造とケーラー形式が追加の対称性を課えるケーラー設定に拡張すること。
• 曲率に関する不変多項式とケーラー形式の累乗をペアリングして得られるスカラー不変量のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出すること。
• これらのオイラー＝ラグランジュ方程式とケーラー文脈における対称2次テンソル値の普遍的曲率恒等式との正確な対応関係を確立すること。
• このような不変量のオイラー＝ラグランジュ作用素が、制限写像と幾何的変分技法を用いて普遍的曲率恒等式と一致することを証明すること。
• 正則構造、曲率の対称性、特性類を活用して、既存の実幾何学の結果をケーラー設定に一般化すること。

提案手法

• ニューランダー＝ニレングラの定理を用いて正則構造を定義し、テンソルバンドルを $ J $-不変および $ J $-反不変成分に分解する。
• ケーラー恒等式 $ R(x,y,z,w) = R(x,y,Jz,Jw) $ を適用して、曲率の対称性における複素構造の利活用を行う。
• 対称多項式 $ ext{Tr}_ u $ を曲率と $ rac{1}{m!} ar{ u}^m $（体積形式）とペアリングすることでスカラー不変量を定義する。
• $ rak{S}_{m,k} $ から $ rak{S}_{k,k} $ への制限写像 $ r_{m,k} $ を用いて、異なる複素次元の多様体上の不変量を関連付ける。
• 1パラメータ族のケーラー計量 $ ilde{g}_ u $ に対する変分法を適用し、不変量の第一変分を計算することでオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• ケーラー形式 $ ar{ u} $ を通じた $ S_+^2M $ と $ igwedge_+^2M $ の同型を用いて、テンソル恒等式を曲率不変量に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー設定における普遍的曲率恒等式は、ケーラー形式の累乗と特性形式をペアリングして得られるスカラー不変量のオイラー＝ラグランジュ方程式とどのように関係するか？
• RQ2 ケーラー不変量のオイラー＝ラグランジュ方程式は、対称2次テンソル値の普遍的曲率恒等式として表現可能か？
• RQ3 制限写像 $ r_{m,k} $ は、異なる複素次元の多様体上の曲率不変量をどのように関連付けるか？
• RQ4 計量の族 $ ilde{ u}_ u $ 沿いでの変動が、$ ar{ u}^k $ との曲率縮約の積分にどのように影響するか？
• RQ5 ケーラー不変量の第一変分が消える条件は何か？そのとき普遍的曲率恒等式が成立するか？

主な発見

• スカラー不変量 $ rac{1}{k!} ar{ u}^k ullet ilde{ u}_k(ar{ u}) $ のオイラー＝ラグランジュ方程式は、ケーラー設定において対称2次テンソル値の普遍的曲率恒等式と一致する。
• $ rak{S}_{m,k} $ から $ rak{K}_{rak{Q},m,k} $ への写像 $ ilde{ u}_{rak{Q},m,k} $ は同型であり、すべてのこのような不変量が一意な普遍的曲率恒等式から生じることを保証する。
• 計量の摂動 $ ilde{g}_ u $ 沿いでの関数 $ rac{1}{k!} ar{ u}^k ullet ilde{ u}_k(ar{ u}) $ の第一変分が消えることは、曲率が普遍的恒等式 $ ilde{ u}_{rak{Q},m,k} ilde{ u}_k = ilde{ u}_{rak{Q},m,k} ilde{ u}_k $ を満たすことに同値である。
• 制限写像 $ r_{k+1,k} $ は曲率恒等式の消滅を保ち、低次元のケーラー多様体への還元が可能となる。
• 証明は、$ ilde{ u}^{k+1} imes ilde{ u}_ u^1 $ 上の1パラメータ族 $ ilde{ u}_ u $ を構成し、積分の変動が底面多様体上の積分に等しくなることを示す。恒等式が異なると仮定すると矛盾が生じる。
• 複素次元 $ k $ の多様体上で、キーパターン $ rac{1}{k!} ar{ u}^k ullet ilde{ u}_k(ar{ u}) = ext{Tr}(r_{k+1,k} ilde{ u}_k(ar{ u})) $ が成り立ち、低次元への還元が可能となる。