[論文レビュー] Universal expressiveness of variational quantum classifiers and quantum kernels for support vector machines

Jonas Jäger, Roman V. Krems|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、$k$-Forrelation問題——PromiseBQP完全であることが知られている——を活用することで、変分量子分類器（VQC）と量子カーネルサポートベクターマシン（QSVM）が、BQP複雑度クラスのいかなる問題に対しても普遍的表現力を有することを示している。主な結果は、これらのモデルが適切な量子カーネルまたは特徴マップを用いることで、BQP問題を効率的に解くことができることであり、これは古典的手法の能力を超える可能性のある量子優位性を示唆している。

ABSTRACT

Machine learning is considered to be one of the most promising applications of quantum computing. Therefore, the search for quantum advantage of the quantum analogues of machine learning models is a key research goal. Here, we show that variational quantum classifiers and support vector machines with quantum kernels can solve a classification problem based on the $k$-Forrelation problem, which is known to be PromiseBQP-complete. Because the PromiseBQP complexity class includes all Bounded-Error Quantum Polynomial-Time (BQP) decision problems, our results imply that there exists a feature map and a quantum kernel that make variational quantum classifiers and quantum kernel support vector machines efficient solvers for any BQP problem. Hence, this work implies that their feature map and quantum kernel, respectively, can be designed to have a quantum advantage for any classification problem that cannot be classically solved in polynomial time but contrariwise by a quantum computer.

研究の動機と目的

• 変分量子分類器（VQC）と量子カーネルサポートベクターマシン（QSVM）が、BQP複雑度クラスのいかなる問題でも解けることを確立すること。
• 既にPromiseBQP完全であると知られている$k$-Forrelation問題が、適切な量子カーネルまたは特徴マップを用いることでVQCとQSVMによって効率的に解けることを示すこと。
• 古典的コンピュータが多項式時間で解けないが、量子コンピュータで解ける問題すべてに対して、分類における量子優位性が理論的に達成可能であることを示すこと。
• VQCとQSVMがBQP問題の普遍的ソルバーとなるような、量子カーネルまたは特徴マップが存在することを構成的証明すること。

提案手法

• 著者たちは、PromiseBQP完全であることが証明済みの$k$-Forrelation問題を、量子機械学習モデルのベンチマーク問題として用いる。
• kを奇数の整数$k \geq 3$に制限し、偶数kのForrelationから多項式時間の還元を用いて、奇数kのForrelationが依然としてPromiseBQP完全であることを証明する。
• 還元には、偶数kのインスタンスを奇数kのインスタンスに変換するための$4\lceil n/2 \rceil - 1$個のブール関数（定数関数または$f(x) = (-1)^{x_i x_j}$の形）を追加する。
• この構成では、$\mathrm{H}^{\otimes 2}$、$\mathrm{CZ}$、およびSWAP操作を含む量子回路ギャジェットを用い、forrelation値$\Phi$を保存しつつ、関数の総数を奇数に保つ。
• 変換において$\Phi$が保存されることで、$|0\rangle^{\otimes n}$の量子回路の振幅が変化せず、問題のプロミスが維持される。
• 結果として得られる量子回路は、VQCとQSVMが$k$-Forrelation問題を効率的に解けるような特徴マップまたはカーネルを実装しており、BQPに対して普遍的表現力を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分量子分類器（VQC）と量子カーネルサポートベクターマシン（QSVM）は、BQP複雑度クラスのいかなる問題でも解けるか？
• RQ2 既にPromiseBQP完全であると知られている$k$-Forrelation問題は、量子カーネルまたは特徴マップを用いることでVQCとQSVMによって解けるか？
• RQ3 VQCとQSVMがすべてのBQP問題に対して普遍的表現力を達成できるような、量子カーネルまたは特徴マップを構成可能か？
• RQ4 奇数kのForrelation問題は、一般の$k$-Forrelation問題が持つPromiseBQP完全性を保持するか？
• RQ5 偶数kの$k$-Forrelationインスタンスを、追加の関数と量子回路ギャジェットを用いて奇数kのインスタンスに変換する際、forrelation値$\Phi$は保存可能か？

主な発見

• kが奇数で$k \geq 3$のとき、$k$-Forrelation問題は、偶数kインスタンスからの多項式時間還元によりPromiseBQP完全であることが証明された。
• 偶数kから奇数kへの変換において、forrelation値$\Phi$が保存され、プロミス条件（$\Pi_+$では$\Phi \geq 3/5$、$\Pi_-$では$|\Phi| \leq 1/100$）が維持される。
• $4\lceil n/2 \rceil - 1$個のブール関数（定数関数と$f(x) = (-1)^{x_i x_j}$を含む）の追加により、元の量子振幅が保たれる同等の奇数kインスタンスが構成可能である。
• 量子回路ギャジェット（$\mathrm{H}^{\otimes 2}$、$\mathrm{CZ}$、SWAPを含む）により、最終的な回路が元の回路と等価のまま保たれ、$\Phi$が保存される。
• この結果は、VQCとQSVMが任意のBQP問題を効率的に解けるような量子カーネルまたは特徴マップが存在することを示唆し、BQPに対する普遍的表現力を確立する。
• これは、$\text{P} \neq \text{BQP}$を仮定すれば、分類における量子優位性の理論的根拠を提供する。