[論文レビュー] Universal flattening of Frobenius

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正標数における代数的多様体の e-次の Frobenius モルフィズムの反復の普遍的平坦化として、e-次の F-ブローイングを定義する。タウム商特異点の場合は、F-ブローイング列が G-Hilbert 棄却に収束することを示し、これにより正標数におけるこの解消の解釈が得られる。ノーマルなトーリック曲面では、列が最小解消に収束し、1次元多様体では、F-ブローイングが十分に大きな e に対して滑らかになる。

ABSTRACT

For a variety $X$ of positive characteristic and a non-negative integer $e$, we define its $e$-th F-blowup to be the universal flattening of the $e$-iterated Frobenius of $X$. Thus we have the sequence (a set labeled by non-negative integers) of blowups of $X$. Under some condition, the sequence stabilizes and leads to a nice (for instance, minimal or crepant) resolution. For tame quotient singularities, the sequence leads to the $G$-Hilbert scheme.

研究の動機と目的

• 正標数における多様体の e-次の Frobenius モルフィズムの反復の普遍的平坦化として e-次の F-ブローイングを定義し、その性質を調べること。
• F-ブローイング列の漸近的挙動、特にそれが収束するか、滑らかまたは最小解消に至るかを調査すること。
• G-Hilbert 棄却を Frobenius の普遍的平坦化として新たな解釈を提供し、正標数における特異点の解消と結びつけること。
• ノーマルなトーリック多様体に対して、F-ブローイング列が収束し、次元 2 において最小解消を与えることを確立すること。
• Deligne-Mumford スタックへと結果を拡張し、G-Hilbert 棄却が粗モジュライ空間にのみ依存することを示すこと。

提案手法

• e-次の F-ブローイング FB_e(X) を、e-次の Frobenius モルフィズムの滑らか点上のファイバーの集合の、相対 Hilbert 棄却 Hilb_{q^d}(X_e/X) 内の閉包として定義する。
• 相対 Hilbert 棄却の普遍的平坦化性質を用いて、FB_e(X) が射影的であり、F^e_* O_{X_e} の普遍的平坦化に同型であることを示す。
• F-ブローイングがエタールモルフィズム、完備化、積、滑らかモルフィズム、体拡張とそれぞれ整合することを証明する。
• トーリック多様体に対して、理想の Gröbner ファンを用いて FB_{(l)}(X) を記述し、アフィンチャートの明示的座標環表現を与える。
• 単項式順序の議論と Gröbner 基底技法を用いて、FB_{(l)}(X) がトーリック多様体であることを証明し、一般の場合を単項式の場合に還元する。
• G-Hilbert 棄却と Frobenius モルフィズムに関する結果を適用し、タウム商特異点に対して、F-ブローイング列が G-Hilbert 棄却に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に大きな e に対して、F-ブローイング列 FB_e(X) は収束するか？ もし収束するならば、その極限は何か？
• RQ2 正標数における 1 次元多様体に対して、十分に大きな e に対して FB_e(X) は滑らかか？
• RQ3 ノーマルなトーリック多様体に対して、F-ブローイング列は収束するか？ また、次元 2 において最小解消を与えるか？
• RQ4 タウム商特異点 X = M/G に対して、G-Hilbert 棄却は F-ブローイング列の極限と同型か？
• RQ5 Deligne-Mumford スタックの文脈において、F-ブローイング構成は粗モジュライ空間にのみ依存するか？

主な発見

• 正標数における 1 次元多様体に対して、十分に大きな e に対して FB_e(X) は滑らかである。
• ノーマルなトーリック曲面に対して、F-ブローイング列は収束し、極限は特異点の最小解消である。
• ノーマルなトーリック多様体に対して、F-ブローイング列は固定された l_0 で収束し、FB_{(l_0)}(X) は以降のすべての F-ブローイングを支配する。
• タウム商特異点 X = M/G に対して、F-ブローイング列は G-Hilbert 棄却 Hilb^G(M) に収束する。これは次元 3 においても Crepant 解消である。
• G-Hilbert 棄却は群作用や環境空間 M に依存せず、商多様体 X = M/G のみに依存し、F-ブローイング列の極限と同型である。
• Deligne-Mumford スタックに対しては、G-Hilbert 棄却の構成は粗モジュライ空間にのみ依存し、十分に大きな e に対して F-ブローイング列はそれらを経由する。