[論文レビュー] Universal fluctuations and ergodicity of generalized diffusivity on critical percolation clusters

Adrian Pacheco-Pozo, Igor M. Sokolov|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本研究は、大規模な数値シミュレーションを用いて臨界パーコレーションクラスター上でのサブディファージョン輸送を調査し、自己平均化の欠如にもかかわらず、異なる実現値間で普遍的なフラクチュエーションが平均二乗変位（MSD）に見られることを明らかにした。研究では、時間平均MSDがエルゴード的である一方で、相対的フラクチュエーションが軌道長に特徴的な方法で減少することを示し、同じフーリエ指数を持つ分数拡散運動とは異なった、不純物由来のサブディファージョンを区別できる。

ABSTRACT

Despite a long history and a clear overall understanding of properties of random walks on an incipient infinite cluster in percolation, some important information on it seems to be missing in the literature. In the present work, we revisit the problem by performing massive numerical simulations for (sub)diffusion of particles on such clusters. Thus, we discuss the shape of the probability density function (PDF) of particles' displacements, and the way it converges to its long-time limiting scaling form. Moreover, we discuss the properties of the mean squared displacement (MSD) of a particle diffusing on the infinite cluster at criticality. This one is known not to be self-averaging. We show that the fluctuations of the MSD in different realizations of the cluster are universal, and discuss the properties of the distribution of these fluctuations. These strong fluctuations coexist with the ergodicity of subdiffusive behavior in the time domain. The dependence of the relative strength of fluctuations in time-averaged MSD on the total trajectory length (total simulation time) is characteristic for diffusion in a percolation system and can be used as an additional test to distinguish this process with disorder-induced memory from processes with otherwise similar behavior, like fractional Brownian motion with the same value of the Hurst exponent.

研究の動機と目的

• 臨界における始原無限パーコレーションクラスター上でのサブディファージョンのエルゴード性および統計的性質を調査すること。
• このような系における粒子移動の確率密度関数（PDF）の形状と収束を分析すること。
• 異なる実現値間で平均二乗変位（MSD）が示す非自己平均的性質を特定すること。
• MSDのフラクチュエーション統計が普遍的であるかどうか、およびそれが軌道長にどのように依存するかを特定すること。
• 同じフーリエ指数を持つ分数ブラウン運動と比較して、相対的フラクチュエーションの減少様式を用いて、不純物由来のサブディファージョンと記憶駆動型プロセス（例：分数ブラウン運動）を区別すること。

提案手法

• 2次元正方形格子上で、結合パーコレーション閾値（p = 0.5）における連続時間ランダムウォークの巨大な数値的シミュレーションを実施する。
• 各実現値において、無限大クラスターを有限クラスターから分離するためにHoshen-Kopelmanアルゴリズムを用いる。
• 指数分布する待ち時間と近隣移動を持つ粒子軌道をシミュレートするためにGillespieアルゴリズムを採用する。
• 個々の軌道およびアンサンブル平均量の時間平均MSD（TAMSD）と熱歴史MSDを計算する。
• 1000～5000個の独立したクラスター実現値におけるMSD値の分布を分析し、フラクチュエーションの普遍性を評価する。
• 同じフーリエ指数を持つ分数ブラウン運動における相対的フラクチュエーションの減少と、TAMSDにおけるそれらの減少を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界パーコレーションクラスター上でのサブディファージョンにおいて、粒子移動の確率密度関数（PDF）はどのように発展し、そのスケーリング形に収束するか？
• RQ2 同じクラスターの異なる実現値における平均二乗変位（MSD）のフラクチュエーションはどの程度強く、それらのフラクチュエーションは普遍的か？
• RQ3 MSDにおける自己平均化の欠如が、時間平均MSDにおける時間的エルゴード性と共存するか？
• RQ4 時間平均MSDにおける相対的フラクチュエーションの減少が、全軌道長にどのように依存するか。また、その性質がパーコレーション由来のサブディファージョンと分数ブラウン運動を区別する手がかりとなるか？
• RQ5 一般化拡散係数（MSDフラクチュエーション経由）の統計的性質が、格子の種別やアリモデル（無知型対盲目的型）に依存しない（普遍性による）か？

主な発見

• 粒子移動のPDFは、中央ピークの狭小化を通じてスケーリング形に収束する。これは強い空間的不純物を有する系に特徴的なパターンである。
• パーコレーションクラスターの個々の実現値におけるMSDは、強い非自己平均的フラクチュエーションを示し、固定時間におけるMSD値の分布は、異なるクラスター間で普遍的である。
• 自己平均化の欠如にもかかわらず、時間平均MSDはエルゴード的であり、長時間にわたる時間平均が同じアンサンブル平均に収束することを示している。
• 時間平均MSDにおける相対的フラクチュエーションの減少は、同じフーリエ指数を持つ分数ブラウン運動とは異なる方法で進行する。これは、不純物由来のサブディファージョンを特定する診断的シグネチャーを提供する。
• MSDのフラクチュエーション統計は普遍的であり、パーコレーションの種別（結合型対サイト型）やアリモデル（無知型対盲目的型）に依存しない。これは、これらの変種にわたる普遍性を確認する。
• 時間に依存する一般化拡散係数K(t) = ⟨x²(t)⟩/t²/dwの分布は、クラスターの自己相似構造のおかげで、長時間において時間に依存しなくなる。これは特徴的なスケールがないことを確認する。