[論文レビュー] Universal gap statistics for random walks for a class of jump densities

Matteo Battilana, Satya N. Majumdar+1 more|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Nov 23, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、分散が有限である限り、対称エラーインジャンプ密度を有する1次元のランダムウォークにおける連続する最大値間のギャップ統計を研究し、大規模なステップ数および大規模なランク $k$ において、$k$-番目のギャップの典型的なフラクチュエーションが $O(1/\sqrt{k})$ のオーダーでスケーリングされ、ジャンプ密度に依存しない普遍的なスケーリング関数で記述されることを示している。また、大偏差領域とも滑らかに一致しており、幅広いジャンプ分布のクラスにわたる普遍性が確認された。

ABSTRACT

We study the order statistics of a random walk (RW) of $n$ steps whose jumps are distributed according to symmetric Erlang densities $f_p(η)\sim |η|^p \,e^{-|η|}$, parametrized by a non-negative integer $p$. Our main focus is on the statistics of the gaps $d_{k,n}$ between two successive maxima $d_{k,n}=M_{k,n}-M_{k+1,n}$ where $M_{k,n}$ is the $k$-th maximum of the RW between step 1 and step $n$. In the limit of large $n$, we show that the probability density function of the gaps $P_{k,n}(Δ) = \Pr(d_{k,n} = Δ)$ reaches a stationary density $P_{k,n}(Δ) o p_k(Δ)$. For large $k$, we demonstrate that the typical fluctuations of the gap, for $d_{k,n}= O(1/\sqrt{k})$ (and $n o \infty$), are described by a non-trivial scaling function that is independent of $k$ and of the jump probability density function $f_p(η)$, thus corroborating our conjecture about the universality of the regime of typical fluctuations (see G. Schehr, S. N. Majumdar, Phys. Rev. Lett. 108, 040601 (2012)). We also investigate the large fluctuations of the gap, for $d_{k,n} = O(1)$ (and $n o \infty$), and show that these two regimes of typical and large fluctuations of the gaps match smoothly.

研究の動機と目的

• 重尾および軽尾のジャンプ分布を有する1次元ランダムウォークにおける連続する最大値間ギャップの統計的性質を調査すること。
• 有限分散を持つ異なるジャンプ密度に対して、連続する最大値間ギャップのスケーリング行動が普遍的であるかどうかを特定すること。
• ギャップ分布における典型的なフラクチュエーション（$O(1/\sqrt{k})$ のスケーリング）と大偏差（$O(1)$ のスケーリング）の相互作用を分析すること。
• $n$ が大きい極限におけるギャップ確率密度関数の正確な表現を導出し、定常形への収束を確立すること。
• 指数的ジャンプの場合を除く、ジャンプ密度の知識がなくても、ギャップフラクチュエーションの普遍的スケーリング関数が導けるかどうかを検討すること。

提案手法

• 本研究では、$k$-番目の最大値と $k$-番目のギャップの同時分布を導出するために再帰関係と母関数を用いる。
• $k$ と $n$ の二重母関数を用いて、$n \to \infty$ の漸近的挙動を分析し、ギャップ分布 $P_{k,n}(\Delta)$ の性質を調べる。
• 対称指数的ジャンプ密度（$p=0$）の場合、ギャップ確率密度関数の母関数の正確な表現を導出し、大 $k$ における解析的接続を実行する。
• 変形ベッセル関数とラプラス変換を含む積分方程式の明示的解法により、任意の整数 $p$ への一般化を図る。
• 鞍点法および積分評価を用いた漸近的解析により、典型的フラクチュエーションにおけるギャップ確率密度関数の普遍的スケーリング形を特定する。
• ギャップ分布のモーメントの正確な表現を導出し、典型的なフラクチュエーション領域と大偏差領域との滑らかな一致を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムウォークにおける連続する最大値間ギャップの典型的フラクチュエーションのスケーリング関数はジャンプ密度に依存するのか、それとも普遍的であるのか。
• RQ2 $k$-番目のギャップの典型的フラクチュエーションは $k$ に対してどのようにスケーリングされるか。また、普遍的スケーリング関数の形は何か。
• RQ3 大偏差領域におけるギャップ分布の挙動はいかなるものか。また、典型的フラクチュエーション領域と滑らかに接続されるか。
• RQ4 分散が有限であれば、ジャンプ密度の明示的知識がなくても普遍的スケーリング関数を導けるか。
• RQ5 指数的ジャンプの場合（$p=0$）から、高次の対称エラーインジャンプ密度（$p \geq 1$）への結果の一般化はどのように行われるか。

主な発見

• ギャップ分布 $P_{k,n}(\Delta)$ は、初期ステップ数に依存しない大 $n$ における定常密度 $p_k(\Delta)$ に収束する。
• 典型的フラクチュエーションにおいて、ギャップは $O(1/\sqrt{k})$ のオーダーでスケーリングされ、確率密度関数は $p_k(\Delta) \sim \frac{1}{\sigma_0} \sqrt{k} \, P\left(\Delta \sqrt{k} / \sigma_0\right)$ の普遍的スケーリング形をとる。ここで $P(x)$ は $p$ やジャンプ密度に依存しない。
• 普遍的スケーリング関数 $P(x)$ は明示的に計算され、$P(x) = \sqrt{2/\pi}(1+2x^2) - e^{2x^2} x (4x^2+3) \text{erfc}(\sqrt{2}x)$ である。$x \to 0$ の漸近的挙動は $P(x) \sim 4\sqrt{2/\pi}$、$x \to \infty$ の場合 $P(x) \sim 3/\sqrt{8\pi} \, x^{-4}$ である。
• 大規模なフラクチュエーション（$\Delta = O(1)$）において、ギャップ分布は典型的スケーリング領域へ滑らかに遷移し、スケーリング行動に不連続性は見られない。
• ギャップ分布の $m$-次の累積モーメントは $\langle d_{k,n}^m \rangle \sim D_{m,p} k^{-m/2}$（$m > 3$）のスケーリングを示し、係数 $D_{m,p}$ は $m$ と $p$ に依存する。これによりフラクチュエーションが非ガウス的であることが確認された。
• 変形ベッセル関数を含む積分方程式の正確な解法により、任意の整数 $p$ への結果の拡張がなされ、すべての $p \geq 0$ に対してスケーリング関数の普遍性が確認された。