[論文レビュー] Universal Groebner bases and Cartwright-Sturmfels ideals

Aldo Conca, Emanuela De Negri+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化初期イデアルが根拠的であり、一意的な生成性を持つ多重次数付き多項式イデアルのクラスとして、Cartwright-Sturmfels および Cartwright-Sturmfels ∗ イデアルを導入する。これらのイデアルが多重次数付き超平面切断に関して閉じており、線形形式の多重次数付き行列の最大小行列式および2小行列式のイデアルがこれらクラスに属することを示し、それらが根拠的であり、線形分解を持つこと、および有界次数の普遍グレブナー基底を有することを示す。

ABSTRACT

We describe the universal Groebner basis of the ideal of maximal minors and the ideal of $2$-minors of a multigraded matrix of linear forms. Our results imply that the ideals are radical and provide bounds on the regularity. In particular, the ideals of maximal minors have linear resolutions. Our main theoretical contribution consists of introducing two new classes of ideals named after Cartwright and Sturmfels, and proving that they are closed under multigraded hyperplane sections. The gins of the ideals that we study enjoy special properties.

研究の動機と目的

• 多重次数付きイデアルの2つの新規クラス—Cartwright-Sturmfels および Cartwright-Sturmfels ∗—を定義し、それらの一般化初期イデアルの性質によって特徴づける。
• これらのクラスが多重次数付き線形形式による超平面切断およびコロン演算に関して閉じていることを証明する。
• 線形形式の多重次数付き行列の最大小行列式および2小行列式のイデアルが Cartwright-Sturmfels であること、したがって根拠的であり、線形分解を持つことを示す。
• これらのイデアルの Castelnuovo-Mumford 正則性および射影次元に対する境界を確立する。
• このようなイデアルの普遍グレブナー基底が有界な多重次数の要素から構成され、特に列・行次数付きの場合に明示的な次数境界を示す。

提案手法

• 一般化初期イデアルが根拠的である多項式イデアルとして Cartwright-Sturmfels イデアルを定義する。
• 一般化初期イデアルが各多重次数ごとにたかだか1つの変数を含む生成系を持つという性質によって、Cartwright-Sturmfels ∗ イデアルを定義する。
• このようなイデアルの一般化初期イデアルが項順序に依存しないことを証明し、グレブナー基底計算における安定性を保証する。
• 帰納法および除去順序技術を用いて、多重次数付き線形形式によるモoduloおよびコロン演算に関して閉じていることを示す。
• 既知の行列式イデアルに関する結果（例：[9], [8]）を応用し、変数の行列の最大小行列式および2小行列式のイデアルがこれらのクラスに属することを示す。
• 多重次数付き行列の像と多項式環の商との間の同型を活用し、変数の行列から一般の場合への性質の転送を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形形式の多重次数付き行列の最大小行列式および2小行列式のイデアルは、有界な多重次数の普遍グレブナー基底を有するか？
• RQ2 このようなイデアルの一般化初期イデアルは項順序に依存せず、根拠的性および線形分解の性質を保つのか？
• RQ3 Cartwright-Sturmfels および Cartwright-Sturmfels ∗ イデアルのクラスは、多重次数付き超平面切断およびコロン演算に関して閉じているか？
• RQ4 多重次数付き設定下でのこれらのイデアルの Castelnuovo-Mumford 正則性および射影次元に対する境界は何か？
• RQ5 行列式イデアルの多重次数付き一般化初期イデアルは、極化およびアレクサンダー双対性の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 列次数付きまたは行次数付きの線形形式の行列の最大小行列式のイデアルは Cartwright-Sturmfels であり、したがって根拠的であり、線形分解を持つ。
• このような行列の2小行列式のイデアルも Cartwright-Sturmfels であり、したがって根拠的であり、すべての初期イデアルも根拠的である。
• 列次数付きの場合、最大小行列式は普遍グレブナー基底をなし、すべての初期イデアルは多重次数 (1,…,1) で生成される。
• 行次数付きの場合、最大小行列式は多重次数 ∑_{i=1}^m e_i の要素からなる普遍グレブナー基底をなし、すべての初期イデアルはその多重次数で生成される。
• ℤ^v-次数付き Cartwright-Sturmfels イデアルの Castelnuovo-Mumford 正則性は v で有界であり、ℤ^v-次数付き Cartwright-Sturmfels ∗ イデアルの射影次元も v で有界である。
• 2つの族に属するスケアーフリー単項式イデアルは互いにアレクサンダー双対であり、それらの一般化初期イデアルは極化およびアレクサンダー双対性によって関連している。