[論文レビュー] Universal KZB equations I: the elliptic case

D. Calaque, B. Enriquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2007

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マークされた点をもつ楕円曲線のモジュライ空間上に普遍的なKnizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) 接続を導入する。これは、トーラス上の点の配置空間に制限される主 bundle 上の平坦接続を構成する。この接続のモノドロミーにより、KZ結合子とEisenstein形式の反復積分との間にリンクが得られ、単純なリー代数に対する標準的なKZB接続が実現され、Cherednik代数を介して因子化され、sl_n における等変D加群の圏からCherednik代数上の加群への函手が可能となり、明示的な特性値計算が可能になる。

ABSTRACT

We define a universal version of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) connection in genus 1. This is a flat connection over a principal bundle on the moduli space of elliptic curves with marked points. It restricts to a flat connection on configuration spaces of points on elliptic curves, which can be used for proving the formality of the pure braid groups on genus 1 surfaces. We study the monodromy of this connection and show that it gives rise to a relation between the KZ associator and a generating series for iterated integrals of Eisenstein forms. We show that the universal KZB connection realizes as the usual KZB connection for simple Lie algebras, and that in the sl_n case this realization factors through the Cherednik algebras. This leads us to define a functor from the category of equivariant D-modules on sl_n to that of modules over the Cherednik algebra, and to compute the character of irreducible equivariant D-modules over sl_n which are supported on the nilpotent cone.

研究の動機と目的

• 1 種のKZB接続の普遍版を定義し、KZ接続を楕円曲線へ拡張する。
• この平坦接続のモノドロミーを用いて、トーラス上の純ブレード群の形式的性を証明する。
• Cherednik代数の表現を通じて、普遍KZB系を実現し、卾のnilpotent錐上の等変D加群と関連付ける。
• sl_n に対して、nilpotent錐上に台を持つ不変加群の特性値を明示的に計算する。

提案手法

• 楕円曲線上の点の配置空間に平坦接続を構成し、モジュライ空間 M_{1,[n]} に上昇させる。
• 配置空間の基本群のホロノミー代数的として t_{1,n} と tbar_{1,n} を定義する。
• 微分作用素と群作用の整合性を用いて接続をモジュライ空間へ拡張し、曲率が消えることで平坦性を保証する。
• 対数微分と結合子を含む微分方程式系の解を通じてモノドロミー表現を導出する。
• tbar_{1,n} から有理Cherednik代数への準同型を用いて、普遍KZB系を型 A_{n-1} の有理Cherednik代数の表現として実現する。
• sl_n の nilpotent 錐上の等変D加群の圏からCherednik代数上の加群への函手を構成し、対称的および球的部品を用いて特性値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 種のモジュライ空間 M_{1,[n]} におけるマークされた点をもつ楕円曲線上に、普遍的なKZB接続をどのように定義できるか。
• RQ2 普遍KZB接続のモノドロミーは何か。また、KZ結合子とEisenstein形式の反復積分とはどのように関係するか。
• RQ3 普遍KZB接続は、特に sl_n に対して、標準的なKZB接続をどのように実現するか。
• RQ4 普遍KZB系はCherednik代数の表現を通じて実現可能か。その実現の構造はどのようなものか。
• RQ5 sl_n に対して、nilpotent 錐上に台を持つ不変D加群の特性値は何か。また、Cherednik代数の函手を用いてどのように計算されるか。

主な発見

• 普遍KZB接続は、モジュライ空間 M_{1,[n]} 上の主 bundle 上の平坦接続であり、楕円曲線上の点の配置空間に制限される。
• 接続のモノドロミーは、基本群 Γ_{1,[n]} から G_n ⋊ S_n への準同型を定め、KZ結合子とEisenstein形式の反復積分を関連付ける。
• 普遍KZB系は、sl_n に対して標準的なKZB接続を実現し、型 A_{n-1} の有理Cherednik代数を介して因子化される。
• sl_n の nilpotent 錐上の等変D加群の圏からCherednik代数上の加群への函手が定義され、明示的な特性値計算が提供される。
• nilpotent 錐上に台を持つ不変D加群の特性値は、Cherednik代数表現の球的および対称的部品を用いて計算される。
• Cherednik代数の表現 V_N に対する不変性と特性値公式が確立され、特性値の明確な公式が導出される。