[論文レビュー] Universal Logarithmic Scrambling in Many Body Localization

Yu Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 66

ひとこと要約

本稿では、多体局在化（MBL）系における時序を逆にした相関関数（OTOC）の解析的解を提示し、量子情報の普遍的対数的スキャンブリングを明らかにする。OTOCは、$\tilde{\tau} > x/\xi$ の場合に $2^{-\tilde{\tau} \tilde{\tau}}$ として減衰し、次元なしの局在化長 $\xi$ が情報スキャンブリング率として機能することを示し、第二レーニー次エントロピーの普遍的対数的増加を示唆する。

ABSTRACT

Out of time ordered correlator (OTOC) is recently introduced as a powerful diagnose for quantum chaos. To go beyond, here we present an analytical solution of OTOC for a non-chaotic many body localized (MBL) system, showing distinct feature from quantum chaos and Anderson localization (AL). The OTOC is found to fall only if the nearest distance between the two operators being shorter than $ξ\ln t$, where $ξ$ is dimensionless localization length. Thereafter, we found an universal power law decay of OTOC as $2^{-ξ\ln t}$, implying an universal logarithmic growth of second Rényi entropy, where $ξ$ plays the role of information scrambling rate. A relation between butterfly velocity and scrambling rate is found.

研究の動機と目的

• 量子力学的カオスを越えて、非カオス的で多体局在化（MBL）系におけるOTOCの振る舞いを理解すること。
• 特に、OTOCがエンタングルメントおよびスキャンブリングダイナミクスを捉えられるかどうかを調査すること。
• MBLにおける情報スキャンブリングに普遍的スケーリング則が支配的であるかどうかを特定すること。
• OTOCの減衰とレーニー次エントロピーの増加を関連づけ、局在化長 $\xi$ がスキャンブリングレートとして果たす役割を同定すること。
• ランダム相互作用下での再帰時間推定を通じて、MBLにおける量子再帰の不在を検証すること。

提案手法

• 局所的保存演算子 $\sigma_i^z$ を持つMBL系の固定点有効ハミルトニアンを用い、指数的減衰するランダム相互作用 $J_{ij} \propto e^{-|i-j|/\xi}$ を組み込む。
• OTOCは $F(t) = \langle \hat{W}^\dagger(t) \hat{V}^\dagger(0) \hat{W}(t) \hat{V}(0) \rangle_\beta$ で定義され、無限温度では $\beta=0$ であり、$f(t)$ に正規化される。
• 2つのスピン鎖を用いた量子回路設定を採用し、$\hat{W}$ と $\hat{V}$ は最小距離 $x$ で分離された有限サイズの演算子である。
• OTOCは $J_{ij}$ における摂動展開を用いて評価され、複数のスピン反転と非可換項を含む一次項寄与に注目する。
• 時間発展演算 $f(t)$ の解析により、OTOCが減衰し始める臨界時刻 $\tau_B = e^{x/\xi}$ を特定し、対数的光円錐の到着を示す。
• レーニー次エントロピーは $S_R^{(2)} = \xi \ln \tilde{t}$ を通じてOTOCと関連づけられ、OTOCの減衰が普遍的対数的エンタングルメント増加を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非カオス的で多体局在化系におけるOTOCの振る舞いは何か？また、普遍的スケーリングを示すか？
• RQ2 OTOCは、量子カオスやアンドリュー局在化とは異なる情報スキャンブリングダイナミクスを明らかにできるか？
• RQ3 局在化長 $\xi$ は、MBL系における情報スキャンブリングレートを支配する役割を果たすか？
• RQ4 MBL系におけるOTOCの減衰は、不純物分布に依存しない普遍的べき乗則に従うか？
• RQ5 MBL領域におけるバタフライ速度 $v_B$ は、スキャンブリングレート $\xi$ とどのように関係するか？

主な発見

• OTOCは $\xi \ln t > x$ のときのみ減衰し始め、$x$ は演算子間の最小距離を表し、特徴的時刻 $\tau_B = e^{x/\xi}$ を持つ対数的光円錐を定義する。
• OTOCは $\xi \ln t > x$ の場合に $2^{-\xi \ln t}$ として減衰し、不純物分布に依存しない普遍的べき乗減衰を示し、指数は $\xi \ln 2$ である。
• 第二レーニー次エントロピーは $S_R^{(2)} = \xi \ln \tilde{t}$ として対数的に増加し、MBL系における普遍的対数的情報スキャンブリングを示す。
• 次元なしの局在化長 $\xi$ は、情報スキャンブリングレートおよび対数的光円錐における有効リー＝ロビンソン速度の両方として機能する。
• 指数的減衰相互作用下では、量子再帰は $e^{e^N}$ のオーダーで推定され、関心のある時間窓内では再帰がないという仮定を正当化する。
• バタフライ速度 $v_B$ は $v_B \sim e^{x/\xi}$ を通じて $\xi$ と関連づけられ、演算子拡散速度とスキャンブリングレートの関係を結ぶ。